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potenzreihen im komplexen: konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Mo 22.02.2010
Autor: mathestudent25

hoi leude ...

ich hab da so ne graphik ... und zwar die konvergenz von potenzreihen im komplexen ... da sind kreise und die werden größer, beim ersten steht gleichmäßig konvergent, beim zweiten nur konvergent, beim dritten keine allgemeinte aussage möglich und beim 4. divergent ...

der 4. is mir klar =)
aber wo is der unterschied zwischen ersten und zweiten und was tun wenn der dritte fall eintritt??

dank schööön an alle die antworten ...
        
Bezug
potenzreihen im komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Mo 22.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> ich hab da so ne graphik ... und zwar die konvergenz von
> potenzreihen im komplexen ... da sind kreise und die werden
> größer, beim ersten steht gleichmäßig konvergent, beim
> zweiten nur konvergent, beim dritten keine allgemeinte
> aussage möglich und beim 4. divergent ...
>
> der 4. is mir klar =)

Gut ;)

>  aber wo is der unterschied zwischen ersten und zweiten und
> was tun wenn der dritte fall eintritt??

Auf jeder kompakten Teilmenge des Konvergenzbereiches konvergiert die Potenzreihe gleichmaessig gegen die Zielfunktion. Gleichmaessig bedeutet, dass du den Abstand zwischen der $n$-ten Partialsumme und der Zielfunktion unabhaengig von der Position beliebig klein bekommen kannst. Das ist staerker als "einfache" Konvergenz. Zum Beispiel ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty z^n$ [/mm] auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreis gleichmaessig konvergent, waehrend es auf einer Menge, die 1 als Haeufungspunkt hat (aber 1 nicht enthaelt), nicht gleichmaessig konvergent ist, aber konvergent. (Wenn die Menge keine Punkte $z$ mit $|z| > 1$ enthaelt.)

Und im dritten Fall? Da musst du genau hinschauen. Hilfreich sind Kriterien wie das []Leibniz-Kriterium, das []Kriterium von Dirichlet sowie das []Kriterium von Abel weiter.

LG Felix

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potenzreihen im komplexen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Do 25.02.2010
Autor: mathestudent25

vielen dank Felix!

ist das dann dieser unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger konvergenz? also "1" ist dann gleichmäßige und "2" punktweise konvergenz mein ich, oder?

lg
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potenzreihen im komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:47 Fr 26.02.2010
Autor: felixf

Hallo,

> ist das dann dieser unterschied zwischen punktweiser und
> gleichmäßiger konvergenz? also "1" ist dann
> gleichmäßige und "2" punktweise konvergenz mein ich,
> oder?

ja, im wesentlichen schon, wobei man bei "1" eine absolute gleichmaessige Konvergenz hat, und es bei "2" auf dem Rand des Konvergenzkreises hoechstens noch zu bedingter punktweiser Konvergenz taugt (im inneren aber auch absolute punktweise Konvergenz).

LG Felix

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