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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Di 05.05.2009 | | Autor: | Luka |
| Aufgabe | sei [mm] $f(z)=\summe_{n=0}^{\infty} a_n (z-a)^n$ [/mm] eine Potenzereihe mit Konvergenzradius $r>0$ Zeige:
a) für [mm] $b\in D_r(a)$ [/mm] läßt sich $f$ auch in eine Potenzreihe um $b$ entwickeln. Bestimme die Koeffizienten bzgl. der Entwicklung um $b$.
b) sei [mm] $z_k\to [/mm] a$ eine konvergente Folge mit [mm] z_k\neq [/mm] a. Ist [mm] $f(z_k)=0$ [/mm] für [mm] $z_k\in D_r(a)$, [/mm] dann gilt [mm] $a_n=0$ [/mm] für alle $n=0,1,2....$, d.h. [mm] $f\equiv [/mm] 0$ |
hallo zusammen,
kann mir vielleicht einer hierbei weiterhelfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Ich bin auch an der Aufgabe b) dran, hab leider noch keine Lösung, kann aber mal meine Idee schreiben, vielleicht sieht dann einer den Weg oder wir kommen zusammen drauf:
Es gilt:
[mm] f(z_k)= \summe_{n=0}^{\infty} a_n (z_k -a)^n
[/mm]
Nun wollte ich für Abschätzungen den Betrag drauf werfen:
[mm] |f(z_k)|=|\summe_{n=0}^{\infty} a_n (z_k -a)^n|
[/mm]
[mm] \le \summe_{n=0}^{\infty} |a_n (z_k -a)^n|
[/mm]
[mm] \le \summe_{n=0}^{\infty} |a_n| |z_k -a|^n
[/mm]
Da aber [mm] z_k [/mm] im Konvergenzbereich der Reihe ist, gilt: [mm] |z_k [/mm] -a| < r
[mm] \Rightarrow |f(z_k)| [/mm] < [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_n| r^n
[/mm]
Da aber gelten soll, dass [mm] f(z_k)=0 \gdw |f(z_k)|=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0= [mm] |f(z_k)| [/mm] < [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_n| r^n
[/mm]
Daraus sollte nun folgen (da r>0), dass [mm] a_n [/mm] =0 sein muss, meiner Meinung nach ist die Abschätzung aber doch kein hinreichendes Kriterium dafür (wegen dem kleinergleich), oder übersehe ich etwas???
Statt dem r einzusetzen hätte man für hinreichend großes n auch das [mm] \varepsilon [/mm] aus der Konvergenzeigenschaft der Folge nehmen können, aber das hilft mir auch nicht weiter.
Wenn jemand ne Idee hat oder nen Fehler sieht, immer her damit.
GREETz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei a = 0.
Annahme: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_m \not= [/mm] 0. m sei der kleinste solche Index, also
[mm] $a_0= a_1 [/mm] = ... = [mm] a_{m-1}= [/mm] 0$
Dann
$f(z) = [mm] a_mz^m+ a_{m+1}z^{m+1}+ [/mm] ......$
somit
[mm] $\bruch{f(z)}{z^m}= a_m+ a_{m+1}z+ a_{m+2}z^2+ [/mm] ...... = : g(z)$
für $ 0<|z|<r$
Es folgt:
$0= [mm] \bruch{f(z_k)}{z_k^m} [/mm] = [mm] g(z_k)$ [/mm] für jedes k
Andererseits: [mm] $g(z_k) \to a_m$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$. [/mm] Also ist doch [mm] a_m [/mm] = 0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo,
ich beschäftige mich ebenfalls mit der Aufgabe.
Kann mir denn vielleicht jemand sagen, was man bei Teil a) überhaupt machen soll? Mir ist das irgendwie nicht ganz so klar. Mir ist völlig schleierhaft, wie man da rangehen soll.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir denn vielleicht jemand sagen, was man bei Teil a)
> überhaupt machen soll? Mir ist das irgendwie nicht ganz so
> klar. Mir ist völlig schleierhaft, wie man da rangehen
> soll.
Für alle z im Definitionsbereich ist [m]\sum_i a_i(z-a)^i = \sum_i a_i(z-a+b -b)^i =\sum_i a_i \sum_{k=0}^i {i \choose k} (z-b)^k(a+b)^{k-i}[/m]. Konvergenz- und Umordnungsfragen sind nun wieder dir überlassen.
SEcki
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