positiv definit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Do 07.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich habe eine Frage: Ist JEDE quadratische Matrix positiv definit, wenn die Eigenwerte alle positiv sind, oder gilt dieses Kriterium nur für SYMMETRISCHE Matrizen??
D.h. Nur für symmetrische Matrizen gilt: Wenn die Eigenwerte alle positiv sind, ist die Matrix positiv defninit??
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 07.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Holger!
Dies gilt in der Tat nur für symmetrische Matrizen!
Denn die Matrix
[mm] $\pmat{1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1}$
[/mm]
hat den dreifachen Eigenwert $1$ (algebraische Vielfachheit), aber es gilt:
[mm] $\pmat{0 & 1 & 1} \cdot \pmat{1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1} \cdot \pmat{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] =-1<0$.
War mir vorher, ehrlich gesagt, selber nicht klar, aber ich habe mir das Gegenbeispiel gerade mal überlegt.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 08.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Also somit ist auch das Hurwitz-Kriterium NUR für symmetrische bzw. hermitesche Matrizen anwendbar. Denn nach deinem Beispiel wäre ja die Matrix (mit Hurwitz-Kriterium) positiv definit, oder?
Viele Grüße!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das ist richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Stefan
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