polstelle mit vorzeichenwechse < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 23.03.2008 | | Autor: | hweixler |
| Aufgabe | Wie könnte eine Funktion mit folgenden eigenschaften formuliert werden?
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x = -1
Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 2
lim (x gegen plus/minus unendlich) = -2 |
Aufgabe
Wie könnte eine Funktion mit folgenden eigenschaften formuliert werden?
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x = -1
Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 2
lim (x gegen plus/minus unendlich) = -2
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Herzlich Willkommen im MatheRaum 
Du hast nur die Frage gepostet... Wo sind deine eigenen Lösungsvorschläge?
Nächstes Mal solltest du zumindest kenntlich machen, dass du dich mit der Frage auch selbst auseinandergesetzt hast.
Du hast bestimmte Eigenschaften einer Funktion gegeben. Alle diese Eigenschaften sollen nun in eine Funktion gepackt werden. Wir müssen also analysieren, was die Eigenschaften über die Funktionen aussagen (und insbesondere wie man das dann zusammensetzt).
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass ihr gerade rationale/gebrochenrationale Funktionen behandelt.
Wir haben eine Polstelle. Es handelt sich also schonmal um eine gebrochenrationale Funktion, denn eine Polstelle drückt ja gerade aus dass der Definitionsbereich eingeschränkt ist: Eine ganzrationale Funktion jedoch hat unter normalen Umständen keinen eingeschränkten Definitionsbereich.
Wenn die gebrochenrationale Funktion nun eine Polstelle bei x = -1 hat, heißt das dass der Nenner die Nullstelle x = -1 hat, d.h. der Nenner beinhaltet den Linearfaktor (x + 1). (Siehe Satz von Vieta)
Wenn die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, signalisiert das zusätzlich dass die Nullstelle x = -1 sogar eine zweifache ist, der Nenner also den obigen Linearfaktor zweimal enthält: [mm] (x+1)^{2}.
[/mm]
Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen beziehen sich auf die Nullstellen des Zählers, denn nur wenn der Zähler eines Bruches 0 wird, wird auch der gesamte Bruch 0. D.h. wenn die Funktion die Nullstelle x = 2 hat, muss der Zähler die Nullstelle x = 2 haben. Daraus wiederum kann man folgern, dass er den Linearfaktor (x-2) enthält.
Unsere bisherige Funktion sieht also folgendermaßen aus:
[mm]f(x) = \bruch{x-2}{(x+1)^{2}}[/mm]
Wir müssen nun noch die letzte Bedingung verarbeiten: Der Grenzwert wenn ich [mm] \pm\infty [/mm] einsetze soll -2 lauten. Damit diese Funktion überhaupt erstmal solche Grenzwerte hat, müssen Zähler und Nenner die gleiche höchste Potenz haben (z.B. [mm] x^{2}), [/mm] sonst geht die Funktion für x [mm] \to \pm\infty [/mm] entweder gegen 0 oder gegen [mm] \infty.
[/mm]
Wir müssen also im Zähler noch einen Faktor ergänzen, sodass dieser eine genau so hohe Potenz hat wie der Nenner.
Jetzt bist du dran
Ergänze einen Faktor, der x enthält, im Zähler, sodass im Zähler und Nenner gleiche Potenzhöhe von x vorliegt. Dann passe den Bruch mit einen Faktor noch so an, dass die Funktion gegen die gewünschten Grenzwerte konvergiert.
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