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polarkoordination: komplexe zahl in polarkoordina
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Sa 21.11.2009
Autor: Kubis

Aufgabe
Stellen sie folgende komplexe zahlen in Polarkooridnaten dar

(i) z1= [mm] (1+i)^2 [/mm]
(ii) z2= 2/(1+wurzel(3i))
(iii) z3= (-1/2 - [mm] 1/2*wurzel(3i))^3 [/mm]

kann mann hierzu folgende formel benutzen?
z=x+iy und z= r[cos(phi)+i(sin(phi)] mit x= r cos(phi), y= r
sin(phi)

hab diese formel im internet gefunden.
kann mir jemand zu der formel die 1.aufgabe machen damit ich dir formel verstehe?
das wäre echt nett von euch
        
Bezug
polarkoordination: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 So 22.11.2009
Autor: Loddar

Hallo Kubis!


Siehe mal zunächst []hier oder []hier.

Nun berechnen wir die Polarform für $z \ = \ 1+i$ .

Es gilt:
$$r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1^2+1^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{2}$$ [/mm]

Für das Argument / Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] in der Gauß'schen Zahlenebene sollte man sich zunächst überlegen: in welchem Quadranten liegt nun $z \ = \ 1+i$ ?
Da sowohl Real- als Imaginärteil positiv sind, liegt diese komplexe Zahl im 1. Quadranten. Es muss also gelten: [mm] $0^\circ [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \varphi [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 90^\circ$ [/mm] .

[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1} [/mm] \ = \ 1 \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ [mm] \varphi [/mm] \ = \ [mm] \arctan(1) [/mm] \ = \ [mm] 45^\circ$$ [/mm]

Es gilt also:
$$z \ = \ 1+i \ = \ [mm] \wurzel{2}*\left[\cos(45^\circ)+i*\sin(45^\circ)\right]$$ [/mm]

Um nun [mm] $z^2 [/mm] \ = \ [mm] (1+i)^2$ [/mm] zu besteimmen, kannst Du sehr schnell mit der MBMoivre-Formel arbeiten.


Gruß
Loddar

Bezug
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