pktweise & gleichm. konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mo 20.02.2012 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | Guten abend, ich versteh den unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser konvergenz nit so richtig und hoffe ihr könnt mir helfen. |
Ich versuch meine frage übersichtlich zu gestalten:
Angenommen ich habe eine funktionenfolge [mm] f_n(x) [/mm] mit dem definitionsbereich [mm] D_f_n [/mm] gegeben und will diese auf gleichmäßige und punktweise konvergenz untersuchen, dann muss ich doch jeweils erst $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\quad \forall [/mm] x [mm] \in D_f_n [/mm] $ bilden, oder?
Das heißt, wenn dieser grenzwert nicht existiert kann die funktionenfolge weder punktweise noch gleichmäßig konvergent sein, oder?
Falls es aber doch eine grenzfunktion gibt find ich steht in meinem skript genau das gleiche was man dann machen muss:
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_f_n [/mm] \ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
sowohl bei punktweiser als auch bei gleichmäßiger konvergenz.... wo ist dann der unterschied?
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Hallo,
vermutlich hast du da einige Dinge übersehen. Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise K. , insofern taugt das Kriterium für die gleichmäßige auch für die punktweise Konvergenz.
Letztere alleine ist schwächer: hier reicht es einfach aus, dass [mm] f_n [/mm] für jedes x aus D konvergiert.
Um dir den Unterschied klarzumachen untersuche die Funktionenfolge
[mm] f_n=x^n
[/mm]
auf [0,1]. Sind alle [mm] f_n [/mm] stetig? Ist die Grenzfunktion stetig? Wie sollte das bei gleichmäßiger Konvergenz aussehen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 20.02.2012 | | Autor: | anabiene |
ohhh vielen dank für die super schnelle antwort!
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\neq 1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}
[/mm]
Kann ich jetz überhaupt auf die beiden dinge überprüfen, wenn es 2 grenzwerte gibt?
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Hiho,
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\neq 1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann ich jetz überhaupt auf die beiden dinge überprüfen,
> wenn es 2 grenzwerte gibt?
Es gibt ja nicht 2 Grenzwerte.
Es gibt für jedes x genau einen Grenzwert.
Die von dir hingeschriebene Definition ist jedoch die für punktweise Konvergenz.
Die von gleichmäßiger unterscheidet sich dazu nur in der Reihenfolge der Quantoren.
Schreibe also mal bitte beide Definitionen auf und vergleiche sie direkt.
Was fällt dir auf?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mo 20.02.2012 | | Autor: | anabiene |
punktweise konvergenz:
[mm] f_n [/mm] konvergiert genau dann punktweise gegen f, wenn
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_f_n\ [/mm] $ und $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0\ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N} [/mm] : [mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon \quad \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N $
also auf deutsch: es muss für jedes x und für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine natürliche Zahl N geben, so dass für alle [mm] n\geq [/mm] N gilt: [mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
und gleichmäßige konvergenz:
[mm] f_n [/mm] konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f, wenn
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > [mm] 0\quad \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] $ so dass [mm] \forall [/mm] $ n [mm] \ge [/mm] N $ und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_f_n [/mm] gilt: [mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
stimmts so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 20.02.2012 | | Autor: | anabiene |
mag mich ungern blamieren, ich mag die extreme kurzschreibweise nicht so.
Ich versuchs mal, also bei punktweiser konvergenz gibt es für jedes einzelne [mm] x\in D_f_n [/mm] ein $ N $,....
und bei gleichmäßiger konvergenz gibt es für alle [mm] x\in D_f_n [/mm] zusammen ein einziges $ N $,....
Das stimmt so nicht, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Di 21.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> mag mich ungern blamieren, ich mag die extreme
> kurzschreibweise nicht so.
>
> Ich versuchs mal, also bei punktweiser konvergenz gibt es
> für jedes einzelne [mm]x\in D_f_n[/mm] ein [mm]N [/mm],....
>
> und bei gleichmäßiger konvergenz gibt es für alle [mm]x\in D_f_n[/mm]
> zusammen ein einziges [mm]N [/mm],....
>
> Das stimmt so nicht, oder?
doch. Ich schreib's mal so (habe den Rest nicht gelesen, das mache ich gleich, und gucke und hoffe, dass ich da nicht nur das geschriebene wiederhole :D):
Für beliebiges [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gilt:
1.) Bei punktweiser Konvergenz: Für jedes $x [mm] \in D=D_{f_n}$ [/mm] (alle [mm] $f_n$ [/mm] haben sicher den gleichen Definitionsbereich, oder wenigstens sollte [mm] $x\,$ [/mm] in dem Definitionsbereich fast aller liegen!) existiert ein $N=N(x)$ ... (d.h. ein solches [mm] $N\,$ [/mm] darf und wird hier i.a. immer von der betrachteten Stelle [mm] $x\,$ [/mm] abhängen!)
2.) Bei gleichmäßiger Konvergenz: Es gibt ein (universelles) [mm] $N\,$ [/mm] so, dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] ... (d.h. ein solches [mm] $N\,$ [/mm] darf NICHT von der betrachteten [mm] $x\,$ [/mm] abhängen!)
Man kann sich das ganze eigentlich gut auch so vorstellen: Wenn [mm] $(f_n)$ [/mm] eine Funktionenfolge ist, die gleichmäßig (und damit insbesondere auch punktweise - warum?) gegen eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert, so kann ich mir den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] skizzieren, "um diesen einen [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] legen und sehe, dass alle (bis auf endlich viele) Graphen der [mm] $f_n$ [/mm] immer komplett von dem [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] eingefangen werden".
Somit erkennst Du etwa, dass [mm] $(f_n)_n$ [/mm] mit [mm] $f_n(x)=x^n$ [/mm] (mit $x [mm] \in [/mm] [0,1]$) NICHT gleichmäßig gegen die auf $[0,1]$ definierte Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit $f(x)=0$ ($0 [mm] \le [/mm] x < 1$) und $f(1):=1$ konvergiert (das ist aber die punktweise Grenzfunktion und somit auch der "einzige Kandidat für glm. Grenzfunktion").
Denn egal, welches [mm] $f_n$ [/mm] ich hernehme, wenn ich nur mit $0 < x < 1$ nahe genug an [mm] $1\,$ [/mm] laufe, so verläßt [mm] $f_n(x)$ [/mm] dann den [mm] $\epsilon$-Schlauch, [/mm] wenn nur $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ ist. Hier ist es also so, dass ein [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] um [mm] $f\,,$ [/mm] wenn $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ gilt, sogar nicht eine einzige der Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] "komplett einfängt".
P.S.:
Wie würde man die punktweise Konvergenz von [mm] $(f_n)$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 \in D_f=D_{f_n}$ [/mm] beschreiben? Vielleicht machst Du Dir das mal klar, indem Du Dir in einem (kartesischen) [mm] $xy\,$-Koordinatensystem, [/mm] wo man die Graphen der Funktionen veranschaulicht, die Gerade [mm] $x=x_0$ [/mm] einzeichnest. Anstatt eines [mm] $\epsilon$-Schlauchs [/mm] "um eine mögliche Grenzfunktion [mm] $f\,$" [/mm] markiere Dir mal auf der Geraden [mm] $x=x_0$ [/mm] nun die Stellen [mm] $f(x_0)-\epsilon$ [/mm] sowie [mm] $f(x_0)+\epsilon\,,$ [/mm] wenn [mm] $f(x_0)$ [/mm] der mögliche Grenzwert von [mm] $(f_n(x_0))$ [/mm] ist. Dann denke mal drüber nach, was [mm] $f_n(x_0) \to f(x_0)$ [/mm] bedeutet... und warum sich das [mm] $N\,$ [/mm] ändern kann, wenn man an eine andere Stelle springt. Beispielhaft hilft hier auch wieder die Funktionenfolge [mm] ($f_n$) [/mm] mit [mm] $f_n(x)=x^n$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,,$ [/mm] also die von oben...
P.P.S.:
Es ist allgemein üblich, kurz "von der Geraden [mm] $x=x_0$" [/mm] zu sprechen, wenn man die zur [mm] $y\,-$Achse [/mm] parallele Gerade
[mm] $$\{(x_0,y): y \in \IR\}$$
[/mm]
im (kartesischen) Koordinatensysten (also im [mm] $\IR^2$) [/mm] meint.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Di 21.02.2012 | | Autor: | anabiene |
Vielen Dank für deine antwort. Ich hoffe ich hab es richtig umgesetzt was du im vorletzten abschnitt vorgeschlagen hattest:
http://s7.directupload.net/file/d/2807/5rlan237_png.htm
Ist das so richtig? weil das mit dem epsilon schlauch war mir noch nicht ganz klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Di 21.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, das hast du falsch verstanden. den "epsilon schlauch" machst du um f(x)
also etwa [mm] \epsilon=0.1 [/mm] dann zeichnest du die Gerade f(x)=0 und den Schlauch, hier nur einseitig f=0.1
so jetzt kannst ddu für x<0.9 sehen, wann alle Funktionen [mm] f_n(x)x<0.9 [/mm] darunter liegen hier ab n=22
wenn alle [mm] f_n [/mm] für x<0,99 drunter liegen sollen musst du bis n=230 gehen wenn bis x<0.999 muss n=2300 sein usw.
also [mm] 1/x^n<0.1 [/mm] für n>2300 für alle x<0.999
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Di 21.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
das Bild verstehe ich so nicht ganz.
Unter dem (offenen) [mm] $\epsilon$-Schlauch ($\epsilon [/mm] > 0$) um eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] versteht man sowas wie
[mm] $$\epsilon-\text{Schlauch um }f:=\{(x,y): x \in D_f \text{ und }y \in ]f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon[\}\,.$$
[/mm]
Bei [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] x < 1$ und $f(1):=1$ ist dieser "Schlauch an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] "zerrissen" (aber dort immer noch "gleich dick")" - weil [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] eine Sprungstelle hat.
Und tu' Dir den Gefallen, und mach' Dir zwei Skizzen: Einmal eine für die punktweise Konvergenz an einer Stelle [mm] $x_0\,,$ [/mm] und eine für die punktweise Grenzfunktion mit [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] um die punktweise Grenzfunktion.
P.S.:
Kannst Du Dir den [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] um [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=0\,,$ [/mm] $0 [mm] \le [/mm] x <1$ und [mm] $f(1):=1\,$ [/mm] mal skizzieren? Vielleicht fangen wir erstmal damit an!
P.P.S.:
Allgemein wäre das "graphische Vorgehen zur Untersuchung einer Funktionenfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] auf glm. Kgz." dann so:
1. Man prüft, ob die punktweisen Grenzwerte [mm] $\lim_{n \to \infty}f_n(x)$ [/mm] alle existieren. Falls ja, definiert man eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] durch [mm] $f(x):=\lim f_n(x)\,.$
[/mm]
2. Man schaut, ob, für jeden noch so kleinen (offenen) [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] um die (punktweise) Grenzfunktion [mm] $f\,$ [/mm] dann gilt, dass fast alle [mm] $f_n\,$ [/mm] komplett in diesem drin liegen. Falls ja -> glm. kgt., falls nein: Nur pktw. kgt., aber nicht glm.
Letzteres ist einfach nur "die Interpretation anhand der Graphen" für das, was man formal sonst in der Definition der glm. Kgz. einer Funktionenfolge stehen hat!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Fr 24.02.2012 | | Autor: | anabiene |
hey. tschuldigung dass ich mich erst jetzt wieder melde... Also eine funktionenfolge ist gleichmäßig konvergent, wenn ab einem folgeglied N alle funktionenfolgenglieder in einem beliebig kleinen [mm] \varepsilon [/mm] -schlauch um eine funktion f liegen. Das hab ich jetzt verstanden 
Und diese funktion f ist hier $[0;1] [mm] \to \IR, x\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\neq 1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}$
[/mm]
Diese funktion ist ja nicht stetig: Bild
Was bedeutet es dann genau, wenn die grenzfunktion nich stetig ist? Das heißt, wenn der [mm] \varepsilon [/mm] -schlauch gerissen ist? Die funktionenfolgenglieder sind ja alle stetig. Dann kann es ja gar nicht gleichmäßig konvergent sein, oder?
Aber es ist punktweise konvergent oder? Ich frag mich nur grad warum (graphisch gesehen). Wie kann man aus meinem bild heraus lesen, dass [mm] f_n [/mm] punktweise konvergent ist?
ps: danke für eure hilfe bisher!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Fr 24.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der [mm] \epsilon [/mm] Schlauch ist ein fester Schlauch, der "reisst" nicht. Aber wenn du ihn etwa 0.1 groß machst passen alle [mm] f_n(x) [/mm] für n>22 bis x=0.9 in den Schlauch für größere x sind sie nicht mehr drin.
wenn du n>230 nimmst passen die [mm] F_n [/mm] bis x=.99 in den Schlauch.
kurz du musst n immer größer machen, damit [mm] f_n(x) [/mm] bis zu einem x nahe bei 1 rein passt. Kurz, du musst n abhängig von x wählen.
Da man beweisen kann (und ihr das wahrscheinlich gemacht habt, dass die Grenzfkt stetig ist, wenn die funktionenfolge glm konvergiert, kannst du auch nur die Grenzfunktion ansehen, ist sie unstetig, dann ist die funktionenfolge nicht glm stetig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Fr 24.02.2012 | | Autor: | anabiene |
hmmmm ne im beweis, dass die grenzfunktion immer stetig sein muss, damit es gleichmäßig konvergent ist habe ich nicht in meinem skript gefunden. Also ist es immer so, dass die grenzfunktion immer stetig sein muss, damit die funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist? (ist ja eig auch logisch)
Gibt es dann überhaupt eine funktionenfolge, die nicht punktweise konvergent ist?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Fr 24.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die gibt es. versuchs mal mit [mm] f_n(x)=sin(n*x) [/mm] in [mm] x\in [0,\pi]
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Fr 24.02.2012 | | Autor: | anabiene |
hmmm also bei $ [mm] f_n(x)=sin(n\cdot{}x) [/mm] $ werden die schlingen immer enger, aber ich seh keine allgemeine funktion f um die ich ein [mm] \varepsilon [/mm] -schlauch legen könnte. Es gibt kein f stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Sa 25.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja,
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:35 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabiene,
> hmmmm ne im beweis, dass die grenzfunktion immer stetig
> sein muss, damit es gleichmäßig konvergent ist habe ich
> nicht in meinem skript gefunden. Also ist es immer so, dass
> die grenzfunktion immer stetig sein muss, damit die
> funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist? (ist ja eig
> auch logisch)
ist es nicht. Und es ist in dieser Form eine falsche Aussage: Du kannst immer die Funktionenfolge nehmen, wo jedes Glied eine, zuvor gewählte und dann festgehaltene, unstetige Funktion darstellt. Trivialeweise konvergiert diese gleichmäßig gegen die festgehaltene, unstetige Funktion.
Eine korrekte Fassung des Satzes lautet:
Sind alle (oder alle bis auf endlich viele) [mm] $f_n$ [/mm] stetig und konvergiert [mm] $(f_n)$ [/mm] glm. gegen [mm] $f\,,$ [/mm] so ist auch [mm] $f\,$ [/mm] stetig.
> Gibt es dann überhaupt eine funktionenfolge, die nicht
> punktweise konvergent ist?
Viele: [mm] $f_n(x)=x^n$ [/mm] als Funktionen [mm] $[2,\infty) \to \IR$ [/mm] etwa. Übrigens ist jede Funktionenfolge, die glm. konvergiert, insbesondere punktweise konvergent.
Und wie gesagt: Um einen Kandidaten einer Funktionenfolge zu erhalten, damit man dann prüfen kann, ob die Funktionenfolge auch glm. gegen diesen konvergiert, kommt dann nur die punktweise Grenzfunktion in Betracht. Man kann aber das ganze auch umgehen, denn es gibt auch sowas wie "Cauchyfolgenkriterium" für glm. Konvergenz einer Funktionenfolge (da braucht man dann die Supremumsnorm...)!
P.S.:
Ich erkläre es nun doch nochmal, wie das mit [mm] $f_n(x)=x^n$ [/mm] als Funktionen $[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] ausschaut:
Zeichne Dir mal [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] auf $[0,1)$ mit zudem $f(1)=1$ hin. Zeichne Dir mal die Graphen von [mm] $f_1\,,$ $f_2\,,$ $f_5$ [/mm] und [mm] $f_{10}$ [/mm] bzw. lasse sie Dir plotten. Was siehst Du? Mit wachsendem Exponenten "biegen sich die Graphen" auf die $x-$Achse zu - laufen aber "auf immer kleiner werdenden Abschnitten immer steiler auf den Punkt [mm] $(1|1)\,$ [/mm] zu". Gehst Du nun an irgendeine Stelle $0 [mm] \le x_0 [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] und gib' Dir mal ein $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ vor, so lege eine zur y-Achse paralle Gerade durch [mm] $x_0$ [/mm] an. Markiere auf dieser die Punkte [mm] $(x_0|\red{0}+\epsilon)$ [/mm] und [mm] $(x_0|\red{0}-\epsilon)\,.$ [/mm] Wie erkennt man nun, dass [mm] $f_n(x_0) \to \red{0}$?
[/mm]
Zur nicht-glm. Kgz. (neue Skizze!):
Plotte $f(x)=0$ auf $[0,1)$ mit zudem [mm] $f(1):=1\,.$ [/mm] Skizziere Dir für ein $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ nun
[mm] $$\epsilon-\text{Schlauch um }f:=\{(x,y): x \in [0,1] \text{ und }y \in ]f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon[\}=\{(x,y): x \in [0,1) \text{ und }-\epsilon < y < \epsilon\} \cup \{(1,y): y \in ]1-\epsilon,1+\epsilon[\}\,.$$
[/mm]
Dann wirst Du sehen, weil der Graph eines jeden [mm] $f_n$ [/mm] nahe der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] immer "stetig auf den Punkt $(1|1)$ zuläuft", dass dieser Schlauch dort immer Probleme haben wird, weil das [mm] $f_n$ [/mm] quasi "den Schlauch nahe der [mm] $1\,$ [/mm] durchbrechen/schneiden muss".
(Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt: Es gibt ein genügend kleines [mm] $\delta_n [/mm] > 0$ so, dass [mm] $f_n(1-\delta_n) \in ]\epsilon,1[\,.$)
[/mm]
P.S.:
Vielleicht hat ja mal jemand Lust, das ganze zu skizzieren. Wenn das demnächst niemand tut, mache ich das vll. mal selbst und scanne es ein!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:11 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> der [mm]\epsilon[/mm] Schlauch ist ein fester Schlauch, der
> "reisst" nicht.
natürlich kann der zerissen sein. Nimm doch einfach [mm] $f(x):=0\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1)\,$ [/mm] und [mm] $f(1):=1\,.$ [/mm] Und setze [mm] $f_n:=f\,$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Selbstverständlich konvergiert [mm] $f_n \to [/mm] f$ dann gleichmäßig!! Und der [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] um [mm] $f\,$ [/mm] "hat einen Riss" - der Punkt ist nur: Sowohl die Grenzfunktion als auch die Folgenglieder sind unstetig!
> Aber wenn du ihn etwa 0.1 groß machst
> passen alle [mm]f_n(x)[/mm] für n>22 bis x=0.9 in den Schlauch für
> größere x sind sie nicht mehr drin.
> wenn du n>230 nimmst passen die [mm]F_n[/mm] bis x=.99 in den
> Schlauch.
> kurz du musst n immer größer machen, damit [mm]f_n(x)[/mm] bis zu
> einem x nahe bei 1 rein passt. Kurz, du musst n abhängig
> von x wählen.
> Da man beweisen kann (und ihr das wahrscheinlich gemacht
> habt, dass die Grenzfkt stetig ist, wenn die
> funktionenfolge glm konvergiert, kannst du auch nur die
> Grenzfunktion ansehen, ist sie unstetig, dann ist die
> funktionenfolge nicht glm stetig.
So ist die Aussage leider falsch: Es ist wichtig, zu beachten, dass auch die Glieder der Funktionenfolge (fast alle) stetig sein sollen. Nur dann kann man schließen, dass auch die "glm. Grenzfunktion" stetig ist.
Neben obigem Beispiel, dass trivialerweise zeigt, dass man nicht auf die Stetigkeit (fast aller) Folgenglieder verzichten kann, sieht man das auch im Beweis, dass die Stetigkeit der [mm] $f_n$ [/mm] eingeht.
P.S.:
Unter einem "nichtzerissenen Schlauch" meine ich sowas wie "einen verbogenen Schlauch". Wie gesagt: Manchmal sollte man echt eine Tafel haben, um sowas schnell hinzumalen, dann ist das nämlich sofort klar, was man meint!
Gruß,
Marcel
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