pi^m irrational < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Do 20.07.2006 | | Autor: | DFG |
Ich habe irgndwo mal gelesen, dass [mm] \pi^m [/mm] für alle ganzen Zahlen m [mm] \not= [/mm] 0 irrational ist. Natürlich reicht es aus, den Fall m [mm] \ge [/mm] 1 zu betrachten.
Beweise für die Fälle m=1 und m=2 findet man überall im Internet, aber den allgemeinen Fall findet man nicht. Ich habe auch versucht diese Beweise zu verallgemeinern, scheiterte jedoch.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
pi ist sogar transzendent, d.h. es gibt überhaupt kein Polynom mit rationalen Koeffizienten, das pi als Nullstelle hat. Du fragst hier nur danach, warum es keine Polynome der Form [mm] X^m [/mm] - a mit rationalem a gibt, die pi als Nullstelle haben.
Beweise der Transzendenz von pi sollten in vielen Algebra-Büchern stehen. Ich habe "Einführung in die Algebra I" von Falko Lorenz, in dem ein Beweis steht.
Er gründet sich auf den folgenden Satz, den ich noch nicht selbst durchdacht habe.
Sei [mm] \IQ^c [/mm] der algebraische Abschluss von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IC.
[/mm]
Gegeben seien [mm] \alpha_1, [/mm] ..., [mm] \alpha_n [/mm] in [mm] \IQ^c [/mm] - {0} und [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] in [mm] \IZ [/mm] mit folgender Eigenschaft: Zu jedem Automorphismus [mm] \sigma [/mm] von [mm] \IQ^c [/mm] / [mm] \IQ [/mm] gibt es eine Permutation s in [mm] S_n [/mm] mit [mm] \sigma(\alpha_i) [/mm] = [mm] \alpha_{s(i)} [/mm] und [mm] a_{s(i)} [/mm] = [mm] a_i [/mm] für alle i = 1,...,n. Dann gibt es kein a in [mm] \IZ [/mm] - {0}, für das folgende Gleichung gilt: [mm] a_1 e^{\alpha_1} [/mm] + ... + [mm] a_n e^{\alpha_n} [/mm] = a.
Gruß,
SirJective
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