partikuläre Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Di 17.06.2008 | | Autor: | ElBarto |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgende gewöhnliche lineare Differentialgleichung die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und durch Aufsuchen der partikulären Lösung die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
y''(x)+2*y'(x)+y(x)=x+sin(x), y(0)=1, y'(0)=0 |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand sagen wie der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung lautet? Finde in meinen schlauen Büchern nur einen Ansatz für eine normale Sinusfunktion (yp=A*sin(x)+B*cos(x) ). Was mach ich mit dem Summanden x? Kann ich den einfach mit reinziehen, also etwa so: yp=A*(x+sin(x))+B*(x+cos(x)) ?
Würde mich sehr über eine Antwort von euch freuen.
MfG Simon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Di 17.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Simon,
und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
da es sich hier um eine lineare DGL und dessen Störfunktion handelt, erhältst du den partikulären Ansatz durch das Überlagerungsprinzip.
d.h. du kannst für die Störfunktion [mm] g_1(x)=x [/mm] den Ansatz [mm] p_1(x)=Ax+B [/mm] wählen und für [mm] g_2(x)=sin(x) [/mm] den Ansatz [mm] p_2(x)=C*cos(x)+D*sin(x)
[/mm]
Die partikuläre Lösungsfunktion lautet dann [mm] p(x)=p_1(x)+p_2(x)
[/mm]
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 17.06.2008 | | Autor: | ElBarto |
Hallo Herby,
das ging ja richtig schnell. Ich bedanke mich recht herzlich bei dir.
MfG Simon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Mo 23.06.2008 | | Autor: | ElBarto |
Ich bin jetzt soweit, dass ich die partikuläre Lösung rausbekommen hab. Mein nächstes Problem ist allerdings, dass ich nun an der Bestimmung der Konstanten scheitere.
Also meine Lösung sieht wie folgt aus:
-2*sin(x)*D-2*C*cos(x)+A = x+sin(x)
Wie bekomme ich aus der Gleichung nun die Konstanten A, C und D heraus? Dieser Sinus macht mich noch ganz wuschig... [mm] :\
[/mm]
Also ich würde mich wieder sehr über eine Hilfe eurerseits freuen.
MfG Simon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mo 23.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo ElBarto,
> Also meine Lösung sieht wie folgt aus:
> -2*sin(x)*D-2*C*cos(x)+A = x+sin(x)
bekomme hier aber was anderes raus ... es ist nicht die Lösung sondern nur ein Ansatz der dich zu der lösung führt ...
mache es doch schritt für schritt ...
dein Ansatz wäre:
[mm] $\blue{y} [/mm] = Ax + B + C *cos(x) + D*sin(x)$
[mm] $\green{y''}=\dots$
[/mm]
[mm] $\red{y''}=\dots$
[/mm]
setze dan dieses in die deine Gleichung :
[mm] $\red{y''}+2*\green{y''}+\blue{y} [/mm] = x+sin(x)$
nach dem einsetzen und zusammen fassen bekommst du sowas hier:
[mm] \red{(-C+2D+C)}cos(x) [/mm] + [mm] \blue{(-D+2C+D)}sin(x) [/mm] + 2A +B [mm] +\green{A}x [/mm] = [mm] \green{1}*x [/mm] + 0 + [mm] \blue{1}*sin(x) [/mm] + [mm] \red{0}*cos(x) [/mm]
hier kannst du anhand der Koeffizienten deine A,B,C,D bestimmen.
[mm] $\red{2D = 0} [/mm] => D=0$
[mm] $\blue{2C = 1} [/mm] => C = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\green{A = 1}$
[/mm]
$2A + B = 0 => 2 + B = 0 => B = -2$
nach dem du es erledigt hast setze diese in deinen Ansatz und du bekommst deine Partikuläre lösung
$y = Ax + B + C *cos(x) + D*sin(x)$
[mm] $y=x-2-\bruch{1}{2}cos(x)$
[/mm]
mfg
masa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mi 02.07.2008 | | Autor: | ElBarto |
Vielen Dank für die Hilfe, hab die Aufgabe jetzt gelöst! :)
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