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Forum "Schul-Analysis" - partielle integration
partielle integration < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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partielle integration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Mi 30.03.2005
Autor: Gopal

Hallo,

ich soll eine Stammfunktion für f(x)=x*arctan x bestimmen.

mittels partieller integration bin ich auf folgendes gekommen:

[mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx} = arctan x *  [mm] \bruch{1}{2} X^{2} [/mm] -  [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+x^2}* \bruch{1}{2} X^{2} [/mm] dx}

aber was mache ich jetzt? ich komme da nicht weiter.

gruß
gopal

        
Bezug
partielle integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Mi 30.03.2005
Autor: Max

Hi gopal,

na ganz einfach, du kannst jetzt den Integranden weiter zerlegen zu

[mm] $\frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{2}x^2 [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1+x^2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \cdot \frac{1+x^2-1}{1+x^2}=-\frac{1}{2}\cdot \left( 1- \frac{1}{1+x^2}\right)$ [/mm]

Dieser Integrand besteht aus zwei elementar integrierbaren Funktion und sollte kein Problem mehr sein.

Poste noch das Ergebnis, damit wir kontrollieren können.

Gruß Brackhaus

Bezug
                
Bezug
partielle integration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mi 30.03.2005
Autor: Gopal


> Hi gopal,
>  
> na ganz einfach, du kannst jetzt den Integranden weiter
> zerlegen zu
>  
> [mm]\frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{2}x^2 = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1+x^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1+x^2-1}{1+x^2}=-\frac{1}{2}\cdot \left( 1- \frac{1}{1+x^2}\right)[/mm]
>  
> Dieser Integrand besteht aus zwei elementar integrierbaren
> Funktion und sollte kein Problem mehr sein.
>  
> Poste noch das Ergebnis, damit wir kontrollieren können.

vielen dank für deine hilfe.

jetzt ist es ja einfach, da ja (arctan x)'= [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm]
also:
[mm] \integral_{}^{} {f(x) dx}= \bruch{1}{2} (x^2*arctan x + arctan x - x)[/mm]

stimmt das so?

aber wie kommt man auf [mm] \frac{1+x^2-1}{1+x^2}= \frac{1}{2}\cdot \left( 1- \frac{1}{1+x^2}\right) [/mm]

das kann ich nicht sehen, würde ich aber gerne, weil ich da ja hängen geblieben bin.

grüße
gopal

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Bezug
partielle integration: Anwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Mi 30.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, gopal,

Du kannst den Term [mm] x^{2}*\bruch{1}{x^{2}+1} [/mm]  = [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}+1} [/mm]
so umformen wie Brackhaus das vorgeschlagen hat, also:
[mm] \bruch{x^{2} + 1 - 1}{x^{2}+1} [/mm]
= [mm] \bruch{(x^{2} + 1) - 1}{x^{2}+1} [/mm]
=  [mm] \bruch{x^{2} + 1}{x^{2}+1} [/mm] - [mm] \bruch{ 1}{x^{2}+1} [/mm]
= 1 - [mm] \bruch{ 1}{x^{2}+1} [/mm]

oder Du machst einfach Polynomdivision:
[mm] x^{2} [/mm] : [mm] (x^{2} [/mm] + 1) = 1 - [mm] \bruch{ 1}{x^{2}+1} [/mm]



Bezug
                                
Bezug
partielle integration: dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 Mi 30.03.2005
Autor: Gopal

vielen dank!
so einfach ist dfas also :)

gopal


> Hi, gopal,
>  
> Du kannst den Term [mm]x^{2}*\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm]  =
> [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2}+1}[/mm]
> so umformen wie Brackhaus das vorgeschlagen hat, also:
>  [mm]\bruch{x^{2} + 1 - 1}{x^{2}+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{(x^{2} + 1) - 1}{x^{2}+1}[/mm]
> =  [mm]\bruch{x^{2} + 1}{x^{2}+1}[/mm] - [mm]\bruch{ 1}{x^{2}+1}[/mm]
>  = 1 -
> [mm]\bruch{ 1}{x^{2}+1}[/mm]
>  
> oder Du machst einfach Polynomdivision:
>  [mm]x^{2}[/mm] : [mm](x^{2}[/mm] + 1) = 1 - [mm]\bruch{ 1}{x^{2}+1}[/mm]
>  
>  


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