partielle drite ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Sa 23.08.2008 | | Autor: | flummy |
| Aufgabe | | f(x,y) = [mm] (x+y^2)*e^{2x^2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo zusammen ich habe in meinem script dies obige aufgabe inklusive lösungsweg und kann ds nicht mehr nachvollziehen*seufz*
kann mir das bitte jemand erläutern - schrittweise?
fy = [mm] 2y*e^{2x^2}
[/mm]
fyx= [mm] 8xy*e^{2x^2}
[/mm]
fyxx= [mm] 8*e^{2x^2}*(1+4x^2)
[/mm]
fx= [mm] e^{2x^2}*(1+4x^2+4xy^2)
[/mm]
fxy= [mm] 8xy*e^{2x^2}
[/mm]
[mm] fxyx=8y*e^{2x^2}*(1+4x^2)
[/mm]
fx= [mm] e^{2x^2}*(1+4x^2+4xy^2)
[/mm]
fxx= [mm] e^{2x^2}*(4y^2+12x+16x^2y^2+16x^3)
[/mm]
fxxy= [mm] 8y*e^{2x^2}*(1+4x^2)
[/mm]
mir schwirrt der kopp*seufz*
ich danke für hilfe
grüssele
von der kleenen
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> f(x,y) = [mm](x+y^2)*e^{2x^2}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> hallo zusammen ich habe in meinem script dies obige
> aufgabe inklusive lösungsweg und kann ds nicht mehr
> nachvollziehen*seufz*
> kann mir das bitte jemand erläutern - schrittweise?
Es ist im Grunde einfach: für die partielle Ableitung nach $x$ ist $y$ eine Konstante und für die partielle Ableitung nach $y$ ist $x$ eine Konstante. Des weiteren verwendest Du einfach die üblichen Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel, Potenzregel, usw.)
>
> fy = [mm]2y*e^{2x^2}[/mm]
[mm]f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big[(x+y^2)\red{\cdot}e^{2x^2}\big] = 2y\cdot e^{2x^2}[/mm]
Grund: der Faktor [mm] $e^{2x^2}$ [/mm] ist beim partiellen Ableiten nach $y$ eine Konstante, so dass man im Grunde nur den Faktor [mm] $(x+y^2)$ [/mm] nach $y$ ableiten und mit dem "konstanten" Faktor [mm] $e^{2x^2}$ [/mm] multiplizieren muss.
> fyx= [mm]8xy*e^{2x^2}[/mm]
Nun musst Du also [mm] $f_y(x,y)=2y\cdot e^{2x^2}$ [/mm] partiell nach $x$ ableiten. $2y$ ist somit für diesen Schritt ein konstanter Faktor, man braucht nur [mm] $e^{2x^2}$ [/mm] mit Hilfe der Kettenregel ("äussere Ableitung mal innere Ableitung") nach $x$ abzuleiten:
[mm]f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big[2y\cdot e^{2x^2}\big]=2y\cdot \red{e^{2x^2}}\cdot \blue{4x}=8xy\cdot e^{2x^2}[/mm]
Diese Ableitung [mm] $e^{2x^2}\cdot [/mm] 4x$ von [mm] $e^{2x^2}$ [/mm] nach $x$ werden wir weiter unten noch mehrmals verwenden.
> fyxx= [mm]8*e^{2x^2}*(1+4x^2)[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Sollte [mm] $fyxx=8ye^{2x^2}(1+4x^2)$ [/mm] sein, $y$ ist ja für diese weitere Ableitung nach $x$ ein konstanter Faktor. Du musst also das bereits berechnete $f_yx(x,y)$ partiell nach $x$ ableiten. $y$ behandeltst Du als konstanten Faktor und verwendest zuerst die Produktregel (und in deren Anwendung verschachtelt die Kettenregel zum Ableiten von [mm] $e^{2x^2}$ [/mm] nach $x$, siehe oben):
[mm]f_{yxx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big[8xy\red{\cdot} e^{2x^2}\big]=8y\cdot e^{2x^2}+8xy\cdot e^{2x^2}\cdot 4x=8y(1+4x^2)\cdot e^{2x^2}[/mm]
> fx= [mm]e^{2x^2}*(1+4x^2+4xy^2)[/mm]
Zuerst Produktregel, dann für die Ableitung von [mm] $e^{2x^2}$ [/mm] Kettenregel und am Ende ausklammern, was sich ausklammern lässt:
[mm]f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big[(x+y^2)\cdot e^{2x^2}\big]=1\cdot e^{2x^2}+(x+y^2)\cdot e^{2x^2}\cdot 4x=(1+4x^2+4xy^2)\cdot e^{2x^2}[/mm]
> fxy= [mm]8xy*e^{2x^2}[/mm]
Nur der erste Faktor muss nach $y$ abgeleitet werden, der zweite ist für die partielle Ableitung nach $x$ wieder konstant:
[mm]f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big[(1+4x^2+4xy^2)\cdot e^{2x^2}\big]=8xy\cdot e^{2x^2}[/mm]
> [mm]fxyx=8y*e^{2x^2}*(1+4x^2)[/mm]
Produktregel und darin verschachtelt die Kettenregel zur Ableitung von [mm] $e^{2x^2}$:
[/mm]
[mm]f_{xyx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big[8xy\cdot e^{2x^2}\big]=8y\cdot e^{2x^2}+8xy\cdot e^{2x^2}\cdot 4x=8y(1+4x^2)\cdot e^{2x^2}[/mm]
> fx= [mm]e^{2x^2}*(1+4x^2+4xy^2)[/mm]
Hatten wir schon weiter oben.
> fxx= [mm]e^{2x^2}*(4y^2+12x+16x^2y^2+16x^3)[/mm]
Nichts Neues: Produkregel und darin verschachtelt die Kettenregel beim Ableiten nach $x$ (und als Konstante behandeln von $y$):
[mm]f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big[(1+4x^2+4xy^2)\cdot e^{2x^2}\big]=(8x+4y^2)\cdot e^{2x^2}+(1+4x^2+4xy^2)\cdot e^{2x^2}\cdot 4x=4(3x+4x^3+4x^2y^2+y^2)\cdot e^{2x^2}[/mm]
> fxxy= [mm]8y*e^{2x^2}*(1+4x^2)[/mm]
[mm] $e^{2x^2}$ [/mm] ist wieder nur ein konstanter Faktor, die Summanden im ersten Faktor [mm] $(\ldots)$, [/mm] die von $y$ unabhängig sind, verschwinden:
[mm]f_{xxy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big[4(3x+4x^3+4x^2y^2+y^2)\cdot e^{2x^2}\big]=4(8x^2y+2y)\cdot e^{2x^2}=8y(1+4x^2)\cdot e^{2x^2}[/mm]
Ich weiss nicht, ob Dir dies viel nützt, was ich geschrieben habe: aber Du kannst nun vielleicht spezifischer zurückfragen.
> mir schwirrt der kopp*seufz*
Gute Besserung.
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