partielle ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:02 So 16.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y):=\bruch{x*y}{x^{2}+y^{2}} [/mm] und f(0,0):=0
Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] partiell differenzierbar ist, aber unstetig in (0,0) |
Heyho
So, bis auf (0,0) kann man ja ganz normal ableiten und die Unstetigkeit ist auch kein Problem, aber wie ist das mit den partiellen Ableitungen in (0,0)???
So sehr ich mich auch bemühe, kommt da immer [mm] \infty [/mm] raus...
In der Vorlesung hatten wir ein Beispiel, wo wir die Richtungsableitungen betrachtet haben nach [mm] a:=(cos(\varphi),sin(\varphi)). [/mm]
Also [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x^{-1}*f(x*a) [/mm] aber das scheint hierbei garnicht zu existieren...
das wäre dann doch [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x^{-1}*cos(\varphi)*sin(\varphi) [/mm] für die beiden partiellen Ableitungen wären zwar cos oder sin 0, aber man teilt doch auch durch 0...
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Hallo,
es geht hier doch um Grenzübergänge, wenn man sich dem gegebenen Punkt nähert. Dabei habt ihr die Punkte in Polarkoordinaten umgewandelt. Ein beliebiger Punkt wird dann als [mm] \vec{x}=r\vektor{cos\phi \\ sin\phi} [/mm] dargestellt und betrachtet wird statt [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow 0}f(x,y) \limes_{r\rightarrow 0}f(r,\phi).Wenn [/mm] du [mm] x\to [/mm] 0 betrachtest erhälst du natürlich unbestimmte Ausdrücke!
Die Ableitungen gehen tatsächlich gegen [mm] \infty, f_{\vec{a}}=\bruch{f(\vektor{x_0 \\ y_0}+h*\vektor{e_1 \\ e_2})-f(\vektor{x_0 \\ y_0})}{h}=\bruch{f(h*\vektor{e_1 \\ e_2})}{h}=\bruch{h^2e_1*e_2}{h^3(e_1^2+e_2^2)} [/mm] und der Term ist nicht endlich für [mm] h\to [/mm] 0
ich hoffe dir hilft die Antwort noch
lg
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