partielle Integration, Träger < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Setze [mm] Q:=\mathbb{R}\times[0,T]. [/mm] Es sei [mm] v\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}\times[0,T)) [/mm] eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Ist dann das folgende Integral mittels partieller Integration berechenbar (vgl. Rechnung unten)?
[mm] \iint_{Q}u_{t}v\, [/mm] dxdt? Dabei bezeichne [mm] u:Q\rightarrow\mathbb{R} [/mm] eine integrierbare Funktion. |
Hallo,
die Frage mag zunächst etwas komisch gestellt erscheinen. Mein Problem ist einfach das folgende: Sei r>0 hinreichend groß, sodass [mm] \mathrm{supp}(v)\subseteq B_{r}(0,0)\cap\mathbb{R}\times[0,T)=:S. [/mm] Wenn ich dann partiell integriere passiert folgendes
[mm] \iint_{Q}u_{t}v\, dxdt=\iint_{S}u_{t}v\, dxdt=-\iint_{S}uv_{t}\, dxdt+\int_{-r}^{r}[uv]_{0}^{T}dx.
[/mm]
Nun macht mir [mm] [uv]_{0}^{T} [/mm] Probleme, denn eigentlich ist doch [mm] v\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}\times[0,T)), [/mm] also der Definitionsbereich von v ist [mm] \mathbb{R}\times[0,T). [/mm] Da ist T aber nicht enthalten. Dann kann ich doch eigentlich nicht hinschreiben, dass [mm] [uv]_{0}^{T}=u(x,T)v(x,T)-u(x,0)v(x,0) [/mm] ist.
Kann man dann mit dem Träger begründen, dass v(x,T)=0 gilt? Ich finde das nur komisch, weil das wie gesagt nach meiner Meinung überhaupt nicht definiert ist. Leider wird in der Literatur, die ich benutze einfach nur hingeschrieben [mm] \iint_{Q}u_{t}v\, dxdt=-\iint_{Q}uv_{t}\, dxdt+\int_{\mathbb{R}}u(x,0)v(x,0)dx, [/mm] ohne die Zwischenschritte.
Kann man das Problem irgendwie über die Wahl des Trägers lösen oder ist das Problem eigentlich garnicht vorhanden und ich übersehe etwas? Oder gilt irgendwie [mm] \underset{t\rightarrow T}{\lim}v(x,t)=0? [/mm] Warum?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Sa 16.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Setze [mm]Q:=\mathbb{R}\times[0,T].[/mm] Es sei [mm]v\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}\times[0,T))[/mm]
> eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion mit
> kompaktem Träger. Ist dann das folgende Integral mittels
> partieller Integration berechenbar (vgl. Rechnung unten)?
>
> [mm]\iint_{Q}u_{t}v\,[/mm] dxdt? Dabei bezeichne
> [mm]u:Q\rightarrow\mathbb{R}[/mm] eine integrierbare Funktion.
> Hallo,
>
> die Frage mag zunächst etwas komisch gestellt erscheinen.
> Mein Problem ist einfach das folgende: Sei r>0 hinreichend
> groß, sodass [mm]\mathrm{supp}(v)\subseteq B_{r}(0,0)\cap\mathbb{R}\times[0,T)=:S.[/mm]
> Wenn ich dann partiell integriere passiert folgendes
>
> [mm]\iint_{Q}u_{t}v\, dxdt=\iint_{S}u_{t}v\, dxdt=-\iint_{S}uv_{t}\, dxdt+\int_{-r}^{r}[uv]_{0}^{T}dx.[/mm]
>
> Nun macht mir [mm][uv]_{0}^{T}[/mm] Probleme, denn eigentlich ist
> doch [mm]v\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}\times[0,T)),[/mm] also der
> Definitionsbereich von v ist [mm]\mathbb{R}\times[0,T).[/mm] Da ist
> T aber nicht enthalten. Dann kann ich doch eigentlich nicht
> hinschreiben, dass [mm][uv]_{0}^{T}=u(x,T)v(x,T)-u(x,0)v(x,0)[/mm]
> ist.
>
> Kann man dann mit dem Träger begründen, dass v(x,T)=0
> gilt? Ich finde das nur komisch, weil das wie gesagt nach
> meiner Meinung überhaupt nicht definiert ist. Leider wird
> in der Literatur, die ich benutze einfach nur
> hingeschrieben [mm]\iint_{Q}u_{t}v\, dxdt=-\iint_{Q}uv_{t}\, dxdt+\int_{\mathbb{R}}u(x,0)v(x,0)dx,[/mm]
> ohne die Zwischenschritte.
>
> Kann man das Problem irgendwie über die Wahl des Trägers
> lösen oder ist das Problem eigentlich garnicht vorhanden
> und ich übersehe etwas? Oder gilt irgendwie
> [mm]\underset{t\rightarrow T}{\lim}v(x,t)=0?[/mm] Warum?
Weil [mm]\mathrm{supp}(v)[/mm] kompakt ist. Da v stetig ist, impliziert [mm] $\limes_{t\to T} [/mm] v(x,t) [mm] \not=0$, [/mm] dass $v(x,t)$ in einer Umgebung von $(x,T)$ nicht 0 ist. Daher liegt in jeder Umgebung von $(x,T)$ ein Punkt aus [mm]\mathrm{supp}(v)[/mm], also ist $(x,T)$ ein Häufungspunkt von und (kompakt!) auch ein Element von [mm]\mathrm{supp}(v)[/mm]. Widerspruch zu [mm] $\mathrm{supp}(v)\subset \IR\times [/mm] [0,T) $.
Anschaulich: damit [mm] $\limes_{t\to T} [/mm] v(x,t) [mm] \not=0$ [/mm] gilt, muss der Träger von v ganz an das rechte Ende des (auf dieser Seite offenen) Intervalls $[0,T)$ heranreichen, was der Abgeschlossenheit des Trägers widerspricht.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
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> > Setze [mm]Q:=\mathbb{R}\times[0,T].[/mm] Es sei [mm]v\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}\times[0,T))[/mm]
> > eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion mit
> > kompaktem Träger. Ist dann das folgende Integral mittels
> > partieller Integration berechenbar (vgl. Rechnung unten)?
> >
> > [mm]\iint_{Q}u_{t}v\,[/mm] dxdt? Dabei bezeichne
> > [mm]u:Q\rightarrow\mathbb{R}[/mm] eine integrierbare Funktion.
> > Hallo,
> >
> > die Frage mag zunächst etwas komisch gestellt erscheinen.
> > Mein Problem ist einfach das folgende: Sei r>0 hinreichend
> > groß, sodass [mm]\mathrm{supp}(v)\subseteq B_{r}(0,0)\cap\mathbb{R}\times[0,T)=:S.[/mm]
> > Wenn ich dann partiell integriere passiert folgendes
> >
> > [mm]\iint_{Q}u_{t}v\, dxdt=\iint_{S}u_{t}v\, dxdt=-\iint_{S}uv_{t}\, dxdt+\int_{-r}^{r}[uv]_{0}^{T}dx.[/mm]
>
> >
> > Nun macht mir [mm][uv]_{0}^{T}[/mm] Probleme, denn eigentlich ist
> > doch [mm]v\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}\times[0,T)),[/mm] also der
> > Definitionsbereich von v ist [mm]\mathbb{R}\times[0,T).[/mm] Da ist
> > T aber nicht enthalten. Dann kann ich doch eigentlich nicht
> > hinschreiben, dass [mm][uv]_{0}^{T}=u(x,T)v(x,T)-u(x,0)v(x,0)[/mm]
> > ist.
> >
> > Kann man dann mit dem Träger begründen, dass v(x,T)=0
> > gilt? Ich finde das nur komisch, weil das wie gesagt nach
> > meiner Meinung überhaupt nicht definiert ist. Leider wird
> > in der Literatur, die ich benutze einfach nur
> > hingeschrieben [mm]\iint_{Q}u_{t}v\, dxdt=-\iint_{Q}uv_{t}\, dxdt+\int_{\mathbb{R}}u(x,0)v(x,0)dx,[/mm]
> > ohne die Zwischenschritte.
> >
> > Kann man das Problem irgendwie über die Wahl des Trägers
> > lösen oder ist das Problem eigentlich garnicht vorhanden
> > und ich übersehe etwas? Oder gilt irgendwie
> > [mm]\underset{t\rightarrow T}{\lim}v(x,t)=0?[/mm] Warum?
>
> Weil [mm]\mathrm{supp}(v)[/mm] kompakt ist. Da v stetig ist,
> impliziert [mm]\limes_{t\to T} v(x,t) \not=0[/mm], dass [mm]v(x,t)[/mm] in
> einer Umgebung von [mm](x,T)[/mm] nicht 0 ist. Daher liegt in jeder
> Umgebung von [mm](x,T)[/mm] ein Punkt aus [mm]\mathrm{supp}(v)[/mm], also
> ist [mm](x,T)[/mm] ein Häufungspunkt von und (kompakt!) auch ein
> Element von [mm]\mathrm{supp}(v)[/mm]. Widerspruch zu
> [mm]\mathrm{supp}(v)\subset \IR\times [0,T) [/mm].
>
> Anschaulich: damit [mm]\limes_{t\to T} v(x,t) \not=0[/mm] gilt, muss
> der Träger von v ganz an das rechte Ende des (auf dieser
> Seite offenen) Intervalls [mm][0,T)[/mm] heranreichen, was der
> Abgeschlossenheit des Trägers widerspricht.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo nochmal,
vielen Dank für die Antwort. Die Anschauung ist mir klar geworden, allerdings im Formalen sehe ich eine Sache noch nicht. Es ist wahrscheinlich vollständig trivial, aber ich bin in den Grundlagen leider nicht so fit. Also der Grenzwert von t gegen T sei von Null verschieden. Wieso folgerst du dann aus der Stetigkeit von v, dass es eine Umgebung von (x,T) gibt, in der v ungleich Null ist? v ist ja nur auf [mm] \mathbb{R} \times [/mm] [0,T) stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 So 17.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vielen Dank für die Antwort. Die Anschauung ist mir klar
> geworden, allerdings im Formalen sehe ich eine Sache noch
> nicht. Es ist wahrscheinlich vollständig trivial, aber ich
> bin in den Grundlagen leider nicht so fit. Also der
> Grenzwert von t gegen T sei von Null verschieden. Wieso
> folgerst du dann aus der Stetigkeit von v, dass es eine
> Umgebung von (x,T) gibt, in der v ungleich Null ist? v ist
> ja nur auf [mm]\mathbb{R} \times[/mm] [0,T) stetig.
Wenn v in jeder (punktierten) Umgebung von $(x,T)$ gleich 0 ist, dann ist auch der Grenzwert 0, das folgt aus der Stetigkeit.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
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> > vielen Dank für die Antwort. Die Anschauung ist mir klar
> > geworden, allerdings im Formalen sehe ich eine Sache noch
> > nicht. Es ist wahrscheinlich vollständig trivial, aber ich
> > bin in den Grundlagen leider nicht so fit. Also der
> > Grenzwert von t gegen T sei von Null verschieden. Wieso
> > folgerst du dann aus der Stetigkeit von v, dass es eine
> > Umgebung von (x,T) gibt, in der v ungleich Null ist? v ist
> > ja nur auf [mm]\mathbb{R} \times[/mm] [0,T) stetig.
>
> Wenn v in jeder (punktierten) Umgebung von [mm](x,T)[/mm] gleich 0
> ist, dann ist auch der Grenzwert 0, das folgt aus der
> Stetigkeit.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Richtig, da dies nicht der Fall ist finden wir also für ein festes x mit [mm] |x|\leq [/mm] r eine Umgebung, in der v nicht überall 0 ist. Aber warum liegt dann in wirklich jeder Umgebung von (x,T) ein Punkt aus dem Träger?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 17.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> >
> > > vielen Dank für die Antwort. Die Anschauung ist mir klar
> > > geworden, allerdings im Formalen sehe ich eine Sache noch
> > > nicht. Es ist wahrscheinlich vollständig trivial, aber ich
> > > bin in den Grundlagen leider nicht so fit. Also der
> > > Grenzwert von t gegen T sei von Null verschieden. Wieso
> > > folgerst du dann aus der Stetigkeit von v, dass es eine
> > > Umgebung von (x,T) gibt, in der v ungleich Null ist? v ist
> > > ja nur auf [mm]\mathbb{R} \times[/mm] [0,T) stetig.
> >
> > Wenn v in jeder (punktierten) Umgebung von [mm](x,T)[/mm] gleich 0
> > ist, dann ist auch der Grenzwert 0, das folgt aus der
> > Stetigkeit.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Richtig, da dies nicht der Fall ist finden wir also für
> ein festes x mit [mm]|x|\leq[/mm] r eine Umgebung, in der v nicht
> überall 0 ist. Aber warum liegt dann in wirklich jeder
> Umgebung von (x,T) ein Punkt aus dem Träger?
Damit $v(x,t)$ für [mm] $t\to [/mm] T$ gegen einen Wert ungleich 0 konvergiert, muss in jeder noch so kleinen [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $(x,T)$ mindestens ein weiterer Punkt existieren, an dem $v(x,t)$ ungleich 0 ist.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
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> > Hallo,
> > >
> > > > vielen Dank für die Antwort. Die Anschauung ist mir klar
> > > > geworden, allerdings im Formalen sehe ich eine Sache noch
> > > > nicht. Es ist wahrscheinlich vollständig trivial, aber ich
> > > > bin in den Grundlagen leider nicht so fit. Also der
> > > > Grenzwert von t gegen T sei von Null verschieden. Wieso
> > > > folgerst du dann aus der Stetigkeit von v, dass es eine
> > > > Umgebung von (x,T) gibt, in der v ungleich Null ist? v ist
> > > > ja nur auf [mm]\mathbb{R} \times[/mm] [0,T) stetig.
> > >
> > > Wenn v in jeder (punktierten) Umgebung von [mm](x,T)[/mm] gleich 0
> > > ist, dann ist auch der Grenzwert 0, das folgt aus der
> > > Stetigkeit.
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Rainer
> >
> > Richtig, da dies nicht der Fall ist finden wir also für
> > ein festes x mit [mm]|x|\leq[/mm] r eine Umgebung, in der v nicht
> > überall 0 ist. Aber warum liegt dann in wirklich jeder
> > Umgebung von (x,T) ein Punkt aus dem Träger?
>
> Damit [mm]v(x,t)[/mm] für [mm]t\to T[/mm] gegen einen Wert ungleich 0
> konvergiert, muss in jeder noch so kleinen
> [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]v(x,T)[/mm] mindestens ein weiterer
> Punkt existieren, an dem [mm]v(x,t)[/mm] ungleich 0 ist.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hm ok also auf die Gefahr hin dich zu langweilen, aber mit gefällt das so einfach nicht. Zunächst einmal darf ich v(x,T) so eigentlich nicht hinschreiben, denn an der Stelle (x,T) ist v streng genommen nicht definiert.
Jetzt würde ich folgendes vorschlagen: Sei [mm] (x_n,t_n) [/mm] eine Folge, die gegen (x,T) konvergiert. Sei [mm] a\neq [/mm] 0 der Grenzwert von [mm] v(x_n,t_n). [/mm] Dann gibt es eine natürliche Zahl N, sodass für alle [mm] n\geq [/mm] N gilt: [mm] |v(x_n,t_n)-a|<\varepsilon, [/mm] für ein beliebiges [mm] \varepsilon>0. [/mm] Jetzt muss aber [mm] v(x_n,t_n) [/mm] ab N von Null verschieden sein, da wir ansonsten für [mm] \varepsilon=|a| [/mm] Probleme bekämen. Das wäre für den Fall, wenn a reell ist. Falls a unendlich wäre ist sowieso alles klar.
Darf man das so überhaupt begründen? So wie ich das sehe, habe ich die Stetigkeit nicht verwendet. v ist auch in (x,T) nach Voraussetung nicht stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:33 Mo 18.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
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> > > Hallo,
> > > >
> > > > > vielen Dank für die Antwort. Die Anschauung ist mir klar
> > > > > geworden, allerdings im Formalen sehe ich eine Sache noch
> > > > > nicht. Es ist wahrscheinlich vollständig trivial, aber ich
> > > > > bin in den Grundlagen leider nicht so fit. Also der
> > > > > Grenzwert von t gegen T sei von Null verschieden. Wieso
> > > > > folgerst du dann aus der Stetigkeit von v, dass es eine
> > > > > Umgebung von (x,T) gibt, in der v ungleich Null ist? v ist
> > > > > ja nur auf [mm]\mathbb{R} \times[/mm] [0,T) stetig.
> > > >
> > > > Wenn v in jeder (punktierten) Umgebung von [mm](x,T)[/mm] gleich 0
> > > > ist, dann ist auch der Grenzwert 0, das folgt aus der
> > > > Stetigkeit.
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > > > Rainer
> > >
> > > Richtig, da dies nicht der Fall ist finden wir also für
> > > ein festes x mit [mm]|x|\leq[/mm] r eine Umgebung, in der v nicht
> > > überall 0 ist. Aber warum liegt dann in wirklich jeder
> > > Umgebung von (x,T) ein Punkt aus dem Träger?
> >
> > Damit [mm]v(x,t)[/mm] für [mm]t\to T[/mm] gegen einen Wert ungleich 0
> > konvergiert, muss in jeder noch so kleinen
> > [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]v(x,T)[/mm] mindestens ein weiterer
> > Punkt existieren, an dem [mm]v(x,t)[/mm] ungleich 0 ist.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
> Hm ok also auf die Gefahr hin dich zu langweilen, aber mit
> gefällt das so einfach nicht. Zunächst einmal darf ich
> v(x,T) so eigentlich nicht hinschreiben, denn an der Stelle
> (x,T) ist v streng genommen nicht definiert.
Stimmt, das war ein Tippfehler (geht eigentlich aus dem Kontext hervor: Umgebung von $v(x,T)$ ergibt keinen Sinn).
> Jetzt würde ich folgendes vorschlagen: Sei [mm](x_n,t_n)[/mm] eine
> Folge, die gegen (x,T) konvergiert. Sei [mm]a\neq[/mm] 0 der
> Grenzwert von [mm]v(x_n,t_n).[/mm] Dann gibt es eine natürliche
> Zahl N, sodass für alle [mm]n\geq[/mm] N gilt:
> [mm]|v(x_n,t_n)-a|<\varepsilon,[/mm] für ein beliebiges
> [mm]\varepsilon>0.[/mm] Jetzt muss aber [mm]v(x_n,t_n)[/mm] ab N von Null
> verschieden sein, da wir ansonsten für [mm]\varepsilon=|a|[/mm]
> Probleme bekämen. Das wäre für den Fall, wenn a reell
> ist. Falls a unendlich wäre ist sowieso alles klar.
Ja, das heisst, das ist nur dieselbe Aussage mit expliziter Benutzung der Metrik. Das ist äquivalent zu meiner Aussage, dass im Fall [mm] $\limes_{t\to T} [/mm] v(x,t) [mm] \not=0$ [/mm] in jeder genügend kleinen Umgebung mindestens ein Punkt des Trägers liegen muss (woraus folgt, dass es unendlich viele sein müssen).
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> Darf man das so überhaupt begründen? So wie ich das sehe,
> habe ich die Stetigkeit nicht verwendet. v ist auch in
> (x,T) nach Voraussetung nicht stetig.
(Nebenbei: das ist nicht richtig. v ist in $(x,T)$ zunächst nicht definiert, also ergibt die Frage nach der Stetigkeit keinen Sinn.)
Nochmal die vollständige Argumentation: Wenn $v(x,t)$ in einer genügend kleinen (punktierten) Umgebung von $(x,T)$ verschwindet, so existiert der Grenzwert für [mm] $t\to [/mm] T$ und ist 0. Damit lässt sich $v(x,t)$ im Punkt $(x,T)$ mittels $v(x,T):=0$ stetig fortsetzen. Wenn also dieser Grenzwert [mm] $\not=0$ [/mm] ist, so gibt es im Umkehrschluss in jeder Umgebung von $(x,T)$ mindestens einen Punkt aus dem Träger von v, womit $(x,T)$ ein Häufungspunkt des Trägers ist, ist Widerspruch zur Voraussetzung, dass $(x,T)$ nicht zum Träger gehört.
Viele Grüße
Rainer
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