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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
| Aufgabe | im intervall [-1;1] gilt u(t)= [mm] \wurzel {1-t^{2}} [/mm] , fortgesetzt mit der periode T=4.
im intervall [1;3] gilt u(t)=0.
a)berechnen sie den mittelwert für eine periode
b)berechnen sie den effektivwert für eine periode |
hallo,
bei oben genannter aufgabe habe ich probleme bei der integration. der erste ansatz ist klar, es wurde auch schon eine ähnliche frage hier gestelt:
https://matheraum.de/read?t=531171&v=t
ich komme bei der partiellen integration nicht weiter, denn aus
[mm] \integral {cos^{2}(x)dx}
[/mm]
wird sin(x)cos(x)+ [mm] \integral{1 dx} [/mm] - [mm] \integral {cos^{2}(x)dx}
[/mm]
wobei das integral,dass ich auflösen möchte, ja wieder auftaucht. wie komme ich hier an die stammfunktion?
danke schonmal
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Hallo,
> ich komme bei der partiellen integration nicht weiter,
> denn aus
> [mm]\integral {cos^{2}(x)dx}[/mm]
> wird sin(x)cos(x)+ [mm]\integral{1 dx}[/mm]
> - [mm]\integral {cos^{2}(x)dx}[/mm]
> wobei das integral,dass ich
> auflösen möchte, ja wieder auftaucht. wie komme ich hier
> an die stammfunktion?
Was hat das denn mit deiner Frage zu tun? Kann es sein, dass du [mm] cos(x)=1-t^2 [/mm] substituieren möchtest, jedoch das Wurzelzeichen übersehen hast?
Klär das mal, denn für diesen Fall lautet dein Integral schlicht und ergreifend
[mm] \integral{cos(x) dx}
[/mm]
Ich stelle mal auf teilweise beantwortet.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
ich möchte im ersten schritt substituieren t=sin(x) .daraus folgt das integral [mm] \integral {cos^{2}(x)dx} [/mm] . dieses muss ja nun partiell integriert werden, wobei ich auf besagtes problem stoße, nämlich dass ich erneut partiell integrieren müsste, wobei der term ja immer wieder auftauchen würde.
beantwortet das deine frage?
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Hallo,
> ich möchte im ersten schritt substituieren t=sin(x)
> .daraus folgt das integral [mm]\integral {cos^{2}(x)dx}[/mm] .
ja, da habe ich mich vertan. Durch das substituierte Differential bekommt man den Kosinus ja auch nochmal als Faktor rein.
> dieses muss ja nun partiell integriert werden, wobei ich
> auf besagtes problem stoße, nämlich dass ich erneut
> partiell integrieren müsste, wobei der term ja immer
> wieder auftauchen würde.
Hast du denn die Antwort von M.Rex dazu gelesen?
Eine weitere Möglichkeit ist hier, den trigonometrischen Pythagoras in integrierter Form (und nach dem Integral von cos^2x aufgelöst) hinzuzuaddieren, so dass sich die Integrale auf der rechten Seite aufheben.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 So 15.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> im intervall [-1;1] gilt u(t)= [mm]\wurzel {1-t^{2}}[/mm] ,
> fortgesetzt mit der periode T=4.
> im intervall [1;3] gilt u(t)=0.
> a)berechnen sie den mittelwert für eine periode
> b)berechnen sie den effektivwert für eine periode
> hallo,
> bei oben genannter aufgabe habe ich probleme bei der
> integration. der erste ansatz ist klar, es wurde auch schon
> eine ähnliche frage hier gestelt:
> https://matheraum.de/read?t=531171&v=t
> ich komme bei der partiellen integration nicht weiter,
> denn aus
> [mm]\integral {cos^{2}(x)dx}[/mm]
Zu der Fragen, ob das Integral korrekt ist, hat dir Diophant ja schon etwas geschrieben.
> wird sin(x)cos(x)+ [mm]\integral{1 dx}[/mm]
> - [mm]\integral {cos^{2}(x)dx}[/mm]
> wobei das integral,dass ich
> auflösen möchte, ja wieder auftaucht. wie komme ich hier
> an die stammfunktion?
> danke schonmal
Es gilt doch
[mm]\red{\int\cos^{2}(x)dx}=\sin(x)\cdot\cos(x)+\overbrace{\int1dx}^{=x}-\red{\int\cos^{2}(x)dx}[/mm]
Das rot markierte Integral kannst du auf beiden Seiten der Gleichung nun addieren, dann bekommst du:
[mm]\red{2}\cdot\int\cos^{2}(x)dx=\sin(x)\cdot\cos(x)+x[/mm]
Also:
[mm]\int\cos^{2}(x)dx=\frac{\sin(x)\cdot\cos(x)+x}{2}[/mm]
Diesen Trick solltest du dir beo der Partiellen Integration durchaus merken, er wird öfter angewandt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
ah ok! das leuchtet ein, ich rechne das ganze nochmal durch.
danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
also die integration hab ich verstanden. jetzt möchte ich den mittelwert bilden mit der bekannten formel dafür. als periode wähle ich [-1;1] . wir dürfen keine taschenrechner verwenden und jetzt stehe ich vor dem problem cos bzw. sin von 1 zu bestimmen... kann ich mir die funktionswerte irgendwie herleiten?
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Hallo trbo,
> also die integration hab ich verstanden. jetzt möchte ich
> den mittelwert bilden mit der bekannten formel dafür. als
> periode wähle ich [-1;1] . wir dürfen keine
> taschenrechner verwenden und jetzt stehe ich vor dem
> problem cos bzw. sin von 1 zu bestimmen... kann ich mir die
> funktionswerte irgendwie herleiten?
Vor der Durchführung der partiellen Integration hast Du
sicherlich die Substituiton [mm]t=\sin\left(x\right)[/mm] angewendet.
Mit einer Substitution verändern sich auch die Intervallgrenzen.
Hier hast Du nun als neue Intervallgrenzen:
[mm]-1=\sin\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]1=\sin\left(x_{1}\right)[/mm]
, wobei [mm]x_{0}[/mm] die neue Untergrenze
und [mm]x_{1}[/mm] die neue Obergrenze bedeuten.
Diese beiden Werte darfst Du jetzt bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
ja ich würd sagen [mm] \pm \bruch{\pi}{2} [/mm] ..
den funktionswert für sin hab ich also quasi schon und setze nur noch die neuen grenzen auch für den cos ein?
hab das mal ausgerechnet, der mittelwert beträgt bei mir [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] .
stimmt das?
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Hallo trbo,
> ja ich würd sagen [mm]\pm \bruch{\pi}{2}[/mm] ..
> den funktionswert für sin hab ich also quasi schon und
> setze nur noch die neuen grenzen auch für den cos ein?
Ja.
> hab das mal ausgerechnet, der mittelwert beträgt bei mir
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] .
> stimmt das?
Der Mittelwert über die Periode ist [mm]\bruch{\pi}{8}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
durch [mm] cos(\bruch{\pi}{2})=0 [/mm] bleibt doch nur übrig [mm] \bruch{1}{2}( \bruch{\pi}{4} +\bruch{\pi}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\pi}{2} [/mm]
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Hallo trbo,
> durch [mm]cos(\bruch{\pi}{2})=0[/mm] bleibt doch nur übrig
> [mm]\bruch{1}{2}( \bruch{\pi}{4} +\bruch{\pi}{4}[/mm] =
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{1}{2}( \bruch{\pi}{\blue{2}} +\bruch{\pi}{\blue{2}})[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{\pi}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
tut mir leid, ich versteh nicht ganz was du damit meinst.
hier mal die gleichung im ganzen:
[mm] \overline{u}= \bruch{1}{2}(\bruch{0+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{0+(-\bruch{\pi}{2})}{2}) [/mm]
dadurch [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{2}*\bruch{\pi}{2})
[/mm]
oder irre ich mich?
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Hallo trbo,
> tut mir leid, ich versteh nicht ganz was du damit meinst.
> hier mal die gleichung im ganzen:
> [mm]\overline{u}= \bruch{1}{2}(\bruch{0+\bruch{\pi}{2}}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{0+(-\bruch{\pi}{2})}{2})[/mm]
> dadurch
> [mm]\bruch{1}{2}(\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{2}*\bruch{\pi}{2})[/mm]
> oder irre ich mich?
Es gilt doch:
[mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-t^{2}} \ dt}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
Da das Integral
[mm]\integral_{1}^{3}{0 \ dt}=0[/mm]
ist, ergibt sich:
[mm]\overline{u}=\bruch{\bruch{\pi}{2}}{3-\left(-1\right)}=\bruch{\pi}{8}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 15.07.2012 | | Autor: | trbo |
aaachso, ja klar, die periode geht ja bis 3. daran hab ich gar nicht gedacht.
ich hätte noch eine frage zum zweiten teil der aufgabe, wo ja der effektivwert zu berechnen ist. und zwar würde ich gern wissen ob ich da einfach die formel verwenden kann, die ich bei wikipedia gefunden habe:
[mm] U_{eff}=\wurzel{\overline{u^{2}(t)}}
[/mm]
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Hallo trbo,
> aaachso, ja klar, die periode geht ja bis 3. daran hab ich
> gar nicht gedacht.
> ich hätte noch eine frage zum zweiten teil der aufgabe,
> wo ja der effektivwert zu berechnen ist. und zwar würde
> ich gern wissen ob ich da einfach die formel verwenden
> kann, die ich bei wikipedia gefunden habe:
> [mm]U_{eff}=\wurzel{\overline{u^{2}(t)}}[/mm]
Sicher kanst Du das.
Gruss
MathePower
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