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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Sa 04.06.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Wert des folgenden Integrals
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^2}{\wurzel{x+5}} dx} [/mm] |
Moin moin!
Ich habe diese Aufgabe mithilfe der partiellen Integration bearbeitet. Ich hoffe, das ist der richtige Weg?
Leider komme ich nicht auf das Ergebnis, das im Lösungsteil (ohne Rechnung) angegeben ist.
Ist meine Lösung richtig, oder wo ist der Fehler?
1. partielle Integration
[mm] \integral_{}^{}{(f '*g) dx} [/mm] = [ f * g ] - [mm] \integral_{}^{}{(f*g') dx}
[/mm]
g = [mm] x^2 [/mm] g ' = 2x
f ' = [mm] (x+5)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] f = [mm] 2*(x+5)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
z = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^2}{\wurzel{x+5}} dx} [/mm]
z = [mm] 2*x^2*(x+5)^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{2*(x+5)^{\bruch{1}{2}}*2x dx}
[/mm]
2. partielle Integration...
[mm] \integral_{}^{}{2*(x+5)^{\bruch{1}{2}}*2x dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{(v'*w) dx} [/mm] = [ v * w ] - [mm] \integral_{}^{}{(v*w') dx}
[/mm]
v ' = [mm] (x+5)^{\bruch{1}{2}} [/mm] v= [mm] \bruch{2}{3}*(x+5)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
w = 4x w ' = 4
Das ergibt komplett...
z = [mm] 2*x^2*(x+5)^{\bruch{1}{2}} [/mm] - ( [mm] \bruch{8}{3}x*(x+5)^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{8}{3}*(x+5)^{\bruch{3}{2}} dx} [/mm] )
z = [mm] 2*x^2*(x+5)^{\bruch{1}{2}} [/mm] - ( [mm] \bruch{8}{3}x*(x+5)^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{16}{15}*(x+5)^{\bruch{5}{2}} [/mm] ) +C
z = [mm] 2*x^2*(x+5)^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{8}{3}*x*(x+5)^{\bruch{3}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{16}{15}*(x+5)^{\bruch{5}{2}} [/mm] +C
In der Musterlösung steht dagegen:
z = [mm] 50*(x+5)^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{20}{3}*(x+5)^{\bruch{3}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{5}*(x+5)^{\bruch{5}{2}} [/mm] +C
Welche Lösung ist nun richtig?
Und falls die Lösung imLösungsteil richtig ist... wie komme ich darauf? Wo ist der Fehler?
Müßte ich am Ende Substituieren? Und wenn ja, wie?
Wenn ich substituiere, bspw. u = [mm] \bruch{1}{\wurzel(x+5)}, [/mm] dann erhielte ich ja einen Ausdurck,in dem u und x vorkommen???
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Dein Vorgehen und deine Lösung sind völlig richtig - die angegebene Musterlösung aber auch!
Zunächst: Dein "Gegner" hat so substituiert:
t = x+5 und dt=dx
Damit erhält er (Integralzeichen lasse ich mal weg) [mm] \bruch{x^2}{\wurzel{x+5}}dx [/mm] = [mm] \bruch{(t-5)^2}{\wurzel{t}}dt=\bruch{t^2-10t+25}{t{^\bruch{1}{2}}}dt=(t^\bruch{3}{2}-10t^\bruch{1}{2}+25t^{-\bruch{1}{2}})dt.
[/mm]
Das lässt sich leicht zum angegebenen Ergebnis integrieren,
anschließend setzt man wieder für t den Term x+5 ein.
Wieso sind nun beide Ergebnisse gleich?
Ziehe aus allen Summanden deines Ergebnisses einmal den Faktor [mm] (x+5)^\bruch{1}{2} [/mm] heraus. Das gibt
[mm] (x+5)^\bruch{1}{2}(2x^2-\bruch{8}{3}x(x+5)+\bruch{16}{15}(x+5)^2).
[/mm]
Jetzt rechnest du die 2. Klammer aus (bin. Formel usw.) und fasst alles zusammen zu
[mm] (x+5)^\bruch{1}{2}(\bruch{2}{5}x^2-\bruch{8}{3}x+\bruch{80}{3}).
[/mm]
Genau das selbe machst du nun mit der Musterlösung. In der 2. Klammer stehen zunächst andere Summanden, nach Ausklammern und Zusammenfassen erhältst du aber das selbe Endergebnis.
Viele Wege führen zum Rum (Piraten-Regel).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Sa 04.06.2011 | | Autor: | hase-hh |
Moin moin!
vielen Dank für Deine Antwort!
Dass es Sinn macht, hier zu substituieren, war mir neu!
Hoffe, ich kann es mir merken. Mit Verkettung hat das jedenfalls hier nichts zu tun?!
> Wieso sind nun beide Ergebnisse gleich?
Wennich das richtig verstanden habe, kann man meine Lösung nicht so einfach in die "Musterlösung" umformen... aber man kann das Ergebnis nach Substitution in das Ergebnis nach partieller Integration umformen...
Richtig?
Ergebnis nach partieller Integration
> Ziehe aus allen Summanden deines Ergebnisses einmal den
> Faktor [mm](x+5)^\bruch{1}{2}[/mm] heraus. Das gibt
>
> [mm](x+5)^\bruch{1}{2}(2x^2-\bruch{8}{3}x(x+5)+\bruch{16}{15}(x+5)^2).[/mm]
> [mm](x+5)^\bruch{1}{2}(\bruch{2}{5}x^2-\bruch{8}{3}x+\bruch{80}{3}).[/mm]
Ergebnis nach Substitution
= [mm] \bruch{2}{5}*(x+5)^\bruch{5}{2} [/mm] - [mm] \bruch{20}{3}*(x+5)^\bruch{3}{2} [/mm] + [mm] 50*(x+5)^\bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] (x+5)^\bruch{1}{2}* [/mm] [ [mm] \bruch{2}{5}*(x+5)^2 [/mm] - [mm] \bruch{20}{3}*(x+5) [/mm] + 50 ]
= [mm] (x+5)^\bruch{1}{2}* [/mm] [ [mm] \bruch{2}{5}*(x^2 [/mm] +10x+25) - [mm] \bruch{20}{3}*x -\bruch{100}{3} [/mm] + 50 ]
= [mm] (x+5)^\bruch{1}{2}* [/mm] [ [mm] \bruch{2}{5}*x^2 [/mm] +4x +10 - [mm] \bruch{20}{3}*x -\bruch{100}{3} [/mm] + 50 ]
= [mm] (x+5)^\bruch{1}{2}* [/mm] [ [mm] \bruch{2}{5}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{8}{3}*x [/mm] - [mm] \bruch{80}{3} [/mm] ]
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Moin hase,
> > Wieso sind nun beide Ergebnisse gleich?
>
> Wennich das richtig verstanden habe, kann man meine Lösung
> nicht so einfach in die "Musterlösung" umformen... aber
> man kann das Ergebnis nach Substitution in das Ergebnis
> nach partieller Integration umformen...
>
> Richtig?
>
> Ergebnis nach partieller Integration
>
> > Ziehe aus allen Summanden deines Ergebnisses einmal den
> > Faktor [mm](x+5)^\bruch{1}{2}[/mm] heraus. Das gibt
> >
> >
> [mm](x+5)^\bruch{1}{2}(2x^2-\bruch{8}{3}x(x+5)+\bruch{16}{15}(x+5)^2).[/mm]
>
> >
> [mm](x+5)^\bruch{1}{2}(\bruch{2}{5}x^2-\bruch{8}{3}x+\bruch{80}{3}).[/mm]
>
> Ergebnis nach Substitution
>
> = [mm]\bruch{2}{5}*(x+5)^\bruch{5}{2}[/mm] - [mm]\bruch{20}{3}*(x+5)^\bruch{3}{2}[/mm] + [mm]50*(x+5)^\bruch{1}{2}[/mm]
> = [mm](x+5)^\bruch{1}{2}*[/mm] [ [mm]\bruch{2}{5}*(x+5)^2[/mm] - [mm]\bruch{20}{3}*(x+5)[/mm] + 50 ]
> = [mm](x+5)^\bruch{1}{2}*[/mm] [ [mm]\bruch{2}{5}*(x^2[/mm] +10x+25) - [mm]\bruch{20}{3}*x -\bruch{100}{3}[/mm] + 50 ]
> = [mm](x+5)^\bruch{1}{2}*[/mm] [ [mm]\bruch{2}{5}*x^2[/mm] +4x +10 - [mm]\bruch{20}{3}*x -\bruch{100}{3}[/mm] + 50 ]
> = [mm](x+5)^\bruch{1}{2}*[/mm] [ [mm]\bruch{2}{5}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{8}{3}*x[/mm] +10 - [mm]\bruch{80}{3}[/mm] ]
Ohne alles nachgerechnet zu haben, hier hast du doch die 50 unterschlagen und es gilt
50+10-100/3=80/3
Damit scheint es doch zu passen.
LG
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