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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 13.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
habe ein problem mit der partiellen Integration.
es gilt ja
[mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x) dx}+ \integral_{a}^{b}{u(x)*v'(x) dx} [/mm] = u(x)*v(x)
unsere gesuchte Stammfunktion lautet ja u(x)*v(x) , beim ableiten entsteht wieder ein Produkt aus Faktoren
wenn man jetzt zum Beispiel als Integrandenfunktion := x* sin (x) hat muss man einen Teil des Ausdrucks als u(x) , also Bestandteil der Stammfunktion und einen Teil als v'(x), also als Bestandteil der Integrandenfunktion definieren oder?
wenn ich jetzt also definiere:
u(x) = x
v'(x) = sin (x) dann ergibt sich
[mm] \integral_{a}^{b}{-cos(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx} [/mm] = x* cos(x)
dann kann man vereinfachen
-sin(x) + [mm] \integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx} [/mm] = x * cos(x) | -sin(x)
[mm] \integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx} [/mm] = x*cos(x) + sin(x) , dass ist aber falsch, kann mir jemand sagen wo mein fehler liegt?
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> Hallo,
> habe ein problem mit der partiellen Integration.
> es gilt ja
> [mm]\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x) dx}+ \integral_{a}^{b}{u(x)*v'(x) dx}[/mm]
> = u(x)*v(x)
> unsere gesuchte Stammfunktion lautet ja u(x)*v(x) , beim
> ableiten entsteht wieder ein Produkt aus Faktoren
>
> wenn man jetzt zum Beispiel als Integrandenfunktion := x*
> sin (x) hat muss man einen Teil des Ausdrucks als u(x) ,
> also Bestandteil der Stammfunktion und einen Teil als
> v'(x), also als Bestandteil der Integrandenfunktion
> definieren oder?
>
> wenn ich jetzt also definiere:
> u(x) = x
> v'(x) = sin (x) dann ergibt sich
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{-cos(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}[/mm]
> = x* cos(x)
Hallo,
das muß heißen [mm] ...=\red{-}xcos(x)
[/mm]
Gruß v. Angela
> dann kann man vereinfachen
> -sin(x) + [mm]\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}[/mm] = x * cos(x) |
> -sin(x)
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}[/mm] = x*cos(x) + sin(x) , dass
> ist aber falsch, kann mir jemand sagen wo mein fehler
> liegt?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 13.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
stimmt du hast natürlich recht, schon fast peinlich.
Dann doch noch eine andere Frage und zwar zu dieser dokumentation hier:
![[]](/images/popup.gif) link
und zwar zur ersten Beispielaufgabe auf S.2.
Ich verstehe einfach nicht wo da auf einmal in der zweiten Zeile das neue Glied herkommt. Desweiteren verstehe ich auch nicht genau wie der Autor am Ende der 2 Seite wo es um die Funktion sin (x) * [mm] e^x [/mm] geht zuerst u(x) als sin(x) und dann schon im nächsten schritt als cos(x) zu definieren, darf man das ( sicherlich sonst würde es da nicht stehen , aber warum?)
Weil eigentlich hat man ja zwei verschiedene Terme u und v jetzt definiert der autor aber zuerst einmal , rechnet einen dritten term mit cos (x) aus und definiert dann erneut so dass sowohl sin als auch cos nun als u definiert sind??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 So 13.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
> stimmt du hast natürlich recht, schon fast peinlich.
> Dann doch noch eine andere Frage und zwar zu dieser
> dokumentation hier:
>
> link
>
> und zwar zur ersten Beispielaufgabe auf S.2.
> Ich verstehe einfach nicht wo da auf einmal in der zweiten
> Zeile das neue Glied herkommt.
dort wird einfach nochmal partiell integriert, mit anderen Worten:
Wende mal partielle Integration auf [mm] $$\int_{0}^{1}\,-12x*e^{x}\;dx$$ [/mm] an und setze das ein.
> Desweiteren verstehe ich
> auch nicht genau wie der Autor am Ende der 2 Seite wo es um
> die Funktion sin (x) * [mm]e^x[/mm] geht zuerst u(x) als sin(x) und
> dann schon im nächsten schritt als cos(x) zu definieren,
> darf man das ( sicherlich sonst würde es da nicht stehen ,
> aber warum?)
Na, bei der letzten Definition wird die alte Definition von $u(x)$ und $v'(x)$ vergessen, bzw. sagen wir es mal wie in einer Programmiersprache:
"Der alte Wert wird überschrieben."
Wenn Dich das stören sollte, weil Du so in die Verwirrung kommst, dass die dort [mm] $\cos(x)=\sin(x)$ [/mm] behaupten würden, dann mach' es meinetwegen so:
Partielle Integration liefert (unter geeigneten Voraussetzungen an [mm] $u_j$ [/mm] bzw. [mm] $v_j$) [/mm] für alle $j [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $$(\star_1)\mbox{ }\int_{a}^{b} u_j(x)\,v_j'(x)\;dx=\left[u_j(x)\,v_j(x)\right]_{a}^b-\int_{a}^b u_j'(x)\,v_j(x)\;dx$$
[/mm]
Wir brauchen nun nur j=1,2. Bei [mm] $(\star_1)$ [/mm] wird dann bei Deinem Link, wenn man dieses "Überschreiben nicht mag", dann zunächst für $j=1$
[mm] $$u_1(x):=\sin(x), \;v_1'(x):=e^x$$
[/mm]
gesetzt, und danach benutzt man [mm] $(\star_1)$ [/mm] für $j=2$ mit
[mm] $$u_2(x):=\cos(x), \;v_2'(x):=e^x$$
[/mm]
(Für $j=2$ wird so ja eben [mm] $\int_a^b\,\cos(x)\,e^x\;dx$ [/mm] berechnet.)
Also, wenn Du so willst:
Für $j=1$ gilt:
[mm] $$(\star_2)\mbox{ }\int_a^b\, \underbrace{\sin(x)}_{u_1(x):=}\,\underbrace{e^x}_{v'_1(x):=}\;dx=\left[\underbrace{\sin(x)}_{=u_1(x)}\,\underbrace{e^x}_{=v_1(x)}\right]_a^b-\int_a^b\,\cos(x)\,e^x\,\;dx$$
[/mm]
Jetzt ist aber [mm] $\int_a^b\,\cos(x)\,e^x\,\;dx$ [/mm] hier störend bzw. das Integral müssen wir ja irgendwie noch weiter bearbeiten, also wendet man auch dort nochmal die partielle Integration an. Dafür definiert man dann [mm] $u_2(x):=\cos(x)$ [/mm] und [mm] $v_2'(x):=e^x$, [/mm] also:
[mm] $$(\star_3)\mbox{ }\int_a^b\, \underbrace{\sin(x)}_{u_1(x):=}\,\underbrace{e^x}_{v'_1(x):=}\;dx=\left[\underbrace{\sin(x)}_{=u_1(x)}\,\underbrace{e^x}_{=v_1(x)}\right]_a^b-\int_a^b\,\underbrace{\cos(x)}_{=:u_2(x)}\,\underbrace{e^x}_{v_2'(x):=}\;dx$$
[/mm]
Und nun benutzt man für [mm] $u_2(x):=\cos(x)$ [/mm] und [mm] $v_2'(x):=e^x$ [/mm] wieder [mm] $(\star_1)$ [/mm] (und zwar [mm] $(\star_1)$ [/mm] für $j=2$) und setzt das in [mm] $(\star_3)$ [/mm] ein. Den Rest entnimmt man der von Dir verlinkten Pdf-Datei (wobei ich das nicht weiter kontrolliert habe).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mo 14.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
> Jetzt ist aber [mm]\int_a^b\,\cos(x)\,e^x\,\;dx[/mm] hier störend
> bzw. das Integral müssen wir ja irgendwie noch weiter
> bearbeiten, also wendet man auch dort nochmal die partielle
> Integration an. Dafür definiert man dann [mm]u_2(x):=\cos(x)[/mm]
> und [mm]v_2'(x):=e^x[/mm], also:
> [[mm](\star_3)\mbox{ }\int_a^b\, \underbrace{\sin(x)}_{u_1(x):=}\,\underbrace{e^x}_{v'_1(x):=}\;dx=\left[\underbrace{\sin(x)}_{=u_1(x)}\,\underbrace{e^x}_{=v_1(x)}\right]_a^b-\int_a^b\,\underbrace{\cos(x)}_{=:u_2(x)}\,\underbrace{e^x}_{v_2'(x):=}\;dx[/mm]
>
> Und nun benutzt man für [mm]u_2(x):=\cos(x)[/mm] und [mm]v_2'(x):=e^x[/mm]
> wieder [mm](\star_1)[/mm] (und zwar [mm](\star_1)[/mm] für [mm]j=2[/mm]) und setzt das
> in [mm](\star_3)[/mm] ein. Den Rest entnimmt man der von Dir
> verlinkten Pdf-Datei (wobei ich das nicht weiter
> kontrolliert habe).
>
Hallo,
also die partielle Integration wird quasi ein zweites mal angewendet?
Aber dass worauf die Partielle Integration erneut angewendet wird also auf das integral mit cos(x), dass ist ja erst durch die erste partielle Integration entstanden cos (x) ist ja ursprünglich u'(x). Das heißt wir wissen, dass es schon Abgeleitet ist, warum können wir es dann nochmal als u(x) also als Bestandteil der STammfunktion definieren das ist doch unlogisch
Edit. oder kann das sein dass ich das falsch verstanden habe und man mit dem Integral [mm] \integral_{a}^{b}{cos(x) *e^x dx} [/mm] jetzt quasie noch mal von vorn anfängt also einsetzt:
[mm] \integral_{a}^{b}{cos(x) *e^x dx}= cos(x)*e^x [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{-sin(x) *e^x dx}
[/mm]
und das nun einsetzt und erhält
[[mm][mm] (\star_3)\mbox{ }\int_a^b\, \underbrace{\sin(x)}_{u_1(x):=}\,\underbrace{e^x}_{v'_1(x):=}\;dx=\left[\underbrace{\sin(x)}_{=u_1(x)}\,\underbrace{e^x}_{=v_1(x)}\right]_a^b-(cos(x)*e^x [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{-sin(x) *e^x dx})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 14.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> also die partielle Integration wird quasi ein zweites mal
> angewendet?
Genau so ist es.
> Aber dass worauf die Partielle Integration erneut
> angewendet wird also auf das integral mit cos(x), dass ist
> ja erst durch die erste partielle Integration entstanden
> cos (x) ist ja ursprünglich u'(x). Das heißt wir wissen,
> dass es schon Abgeleitet ist, warum können wir es dann
> nochmal als u(x) also als Bestandteil der STammfunktion
> definieren das ist doch unlogisch
>
> Edit. oder kann das sein dass ich das falsch verstanden
> habe und man mit dem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{cos(x) *e^x dx}[/mm]
> jetzt quasie noch mal von vorn anfängt also einsetzt:
> [mm]\integral_{a}^{b}{cos(x) *e^x dx}= cos(x)*e^x[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{b}{-sin(x) *e^x dx}[/mm]
> und das nun einsetzt
> und erhält
> [[mm][mm] (\star_3)\mbox{ }\int_a^b\, \underbrace{\sin(x)}_{u_1(x):=}\,\underbrace{e^x}_{v'_1(x):=}\;dx=\left[\underbrace{\sin(x)}_{=u_1(x)}\,\underbrace{e^x}_{=v_1(x)}\right]_a^b-(cos(x)*e^x[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}{-sin(x) *e^x dx})[/mm]
Das ist korrekt so.
Der Trick ist jetzt folgender:
[mm] \integral_{a}^{b}\sin(x)*e^{x}dx=\left[\sin(x)*e^{x}\right]_{a}^{b}-\left(\cos(x)*e^{x}-\integral_{a}^{b}-\sin(x)*e^{x}dx\right)
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{a}^{b}\sin(x)*e^{x}dx=\left[\sin(x)*e^{x}\right]_{a}^{b}-\left(\cos(x)*e^{x}+\integral_{a}^{b}\sin(x)*e^{x}dx\right)
[/mm]
[mm] \gdw \green{\integral_{a}^{b}\sin(x)*e^{x}dx}=\left[\sin(x)*e^{x}\right]_{a}^{b}-\cos(x)*e^{x}\green{-\integral_{a}^{b}\sin(x)*e^{x}dx}
[/mm]
[mm] \gdw \red{2}*\green{\integral_{a}^{b}\sin(x)*e^{x}dx}=\left[\sin(x)*e^{x}\right]_{a}^{b}-\cos(x)*e^{x}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{a}^{b}\sin(x)*e^{x}dx=\bruch{1}{2}*\left[\left[\sin(x)*e^{x}\right]_{a}^{b}-\cos(x)*e^{x}\right]
[/mm]
Diese doppelte Anwendung der Partiellen Integration wird häufig im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen verwendet, denn:
[mm] g(x)=\sin(x)
[/mm]
[mm] g'(x)=\cos(x)
[/mm]
[mm] g^{(2)}(x)=-\sin(x)
[/mm]
[mm] g^{(3)}(x)=-\cos(x)
[/mm]
[mm] g^{(4)}(x)=\sin(x)=g(x)
[/mm]
Marius
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