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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:10 Do 23.11.2006 | | Autor: | denwag |
Guten Abend,
ich komm mal wieder mit einer Aufagbe nicht zurecht. Weiß nicht so recht wie ich rangehen muss. Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.
Hier erstmal die Aufgabe:
Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion f: [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] im Punkt [mm] \vec{0} [/mm] = (0, 0, 0) in Richtung [mm] \vec{v} [/mm] für
f(x, y, z) = [mm] e^{x+y+z} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] .
Hoffentlich findet sich jemand der mit mir die Aufgabe mal durchgehen kann und sie mir auch erklären kann.
Vielen Dank schonmal.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Do 23.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Richtungsableitung ist definiert als
[mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\br{f(\overrightarrow{x}+h*\overrightarrow{v})-f(\overrightarrow{x})}{h} [/mm] mit der angegebenen Funktion [mm] f(\overrightarrow{x}) [/mm] folgt
[mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\br{f(\overrightarrow{x}+h*\overrightarrow{v})-f(\overrightarrow{x})}{h}=\limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{x+h*v_x+y+h*v_y+z+h*v_z}-e^{x+y+z}}{h} [/mm] also
[mm] e^{x+y+z}*\limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{h*(v_x+v_y+v_z)}-1}{h} [/mm] mit
[mm] \overrightarrow{v}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] folgt
[mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\br{f(\overrightarrow{x}+h*\overrightarrow{v})-f(\overrightarrow{x})}{h}=e^{x+y+z}*\limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{h*(v_x+v_y+v_z)}-1}{h}=e^{x+y+z}*\limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{2h}-1}{h}=2*e^{x+y+z}
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 23.11.2006 | | Autor: | denwag |
das ist schon alles? vielen dank.
aber kannst du mir vielleicht noch erklären wie du auf die 2 kommst bei 2* [mm] e^{x+y+z}?
[/mm]
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 23.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{2h}-1}{h}=2 [/mm] nach der regel von l'Hospital.
1'te Ableitung von [mm] e^{2h}-1 [/mm] ist gleich [mm] 2e^{2h} [/mm] und 1'te Ableitung von h ist gleich 1, also kann der Grenzwert wie folgt berechnet werden
[mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{2h}-1}{h}=\limes_{h\rightarrow{0}}\br{2e^{2h}}{1}=2
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 23.11.2006 | | Autor: | denwag |
danke schön. hab jetzt alles verstanden. kannste mir vielleicht auch in einer weiteren Aufgabe helfen? würde mir sehr helfen. Die Aufgabe hat das Thema "Funktionalmatrix" im selben Forum. danke.
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