partielle Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Achilles |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung:
f(x;y;u) = [mm] 2x^{4} *y^{5} *u^{5} +\wurzel{7x - y * u} [/mm] |
Kann mir jemand erklären wie ich das mache? Blicke in meinen Beispielen nicht so recht durch.
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Hallo Achilles,
du leitest immer nach einer Variablen ab während du die anderen 2 als Konstanten ansiehst. Somit bekommst du 3 Ableitungen erster Ordung.
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Hast du vielleicht mal ein Beispiel?
Für den ersten Teil der Funktion ist das klar aber wie mach ich das mit der wurzel?
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Hallo,
den Term mit der Wurzel nach der Kettenregel ableiten:
[mm] $f(x,y,u)=2x^4y^5u^5+\wurzel{7x-yu}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial u}=10x^4y^5u^4-\bruch{y}{2*\wurzel{7x-yu}}$
[/mm]
LG, Martinius
Edit: Fehler behoben; Dank an Herby für den Hinweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Also wie du auf den ersten teil des Terms kommst ist mir ja klar aber wie du bzw. was du beim zweiten Teil berechnet hast ist mir vollkommen unklar.
Könntest du mir deine Rechenschritte wohl mal ausführlich aufschreiben und erklären?
Wäre super.
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Hi,
Wie wollen den Term [mm] \wurzel{7x-yu} [/mm] nach u ableiten. Da es sich hier um eine verkette Funktion handelt müssen wir die  Kettenregel anwenden. Damit ist der Ausruck [mm] \\7x-yu [/mm] unsere innere Funktion und der [mm] \wurzel{} [/mm] Ausdruck ist unsere äußere Funktion.
Gemäß der Kettenregel gilt dann:
[mm] \\a(u)=\wurzel{u}
[/mm]
[mm] \\a'(u)=\bruch{1}{2\cdot\wurzel{u}}
[/mm]
[mm] \\b(u)=7x-yu
[/mm]
[mm] \\b'(u)=-y
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(u)=a'(b)\cdot\\b'=\bruch{1}{2\cdot\wurzel{7x-yu}}\cdot(-y)=\bruch{-y}{2\cdot\wurzel{7x-yu}}.
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Vielen Dank jetzt versteh ich es!
Hab noch eine weiter Aufgabe und vielleicht könntest du mir sagen ob ich da richtig abgeleitet habe.
Also f(x;y) = [mm] (x^{2}-6x+5)*(-10+y) [/mm] ist die Aufgabe und jetzt hab ich folgende Ableitugen berechnet.
fx = 2x+39-4y
fy = [mm] x^{2}-24x+59
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
ich habe mit der produktregel abgeleitet
auf welches ergebnis kommst du denn?
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Hallo Marc,
du hast ja [mm] $f(x,y)=\underbrace{(x^2-6x+5)}_{g(x,y)}\cdot{}\underbrace{(-10+y)}_{h(x,y)}$
[/mm]
Wenn du das nach x partiell ableitest und wie üblich y als reelle Zahl auffasst, so ist nach Produktregel:
[mm] $f_x(x,y)=g_x(x,y)\cdot{}h(x,y)+g(x,y)\cdot{}h_x(x,y)$
[/mm]
Also [mm] $f_x(x,y)=(2x-6)\cdot{}(-10+y)+(x^2-6x+5)\cdot{}0=(2x-6)\cdot{}(-10+y)=-20x+2xy-6y+60$
[/mm]
Alternativ kannst du ja nach Tyskies Tipp auch $f(x,y)$ erst einmal ausmultiplizieren:
[mm] $f(x,y)=(x^2-6x+5)\cdot{}(-10+y)=-10x^2+x^2y+60x-6xy-50+5y$
[/mm]
Wenn du das partiell nach x ableitest, sollte ja dasselbe herauskommen:
[mm] $f_x(x,y)=-20x+2xy+60-6y$
[/mm]
passt also
Nun mache du mal die partielle Ableitung nach y...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
ich habe diesselbe rechnung wie du mit einem kleine unterschied.
die ableitung von (-10+y) ist doch 1 und nicht 0 oder irre ich mich da?
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Hallo,
Obacht, wir leiten partiell nach x ab, y behandeln wir wie eine reelle Zahl.
Nimm mal an, dort stünde nicht [mm] $h(x,y)=(-10+\blue{y})$, [/mm] sondern [mm] $h(x,y)=(-10+\blue{5})$
[/mm]
Was ist $(-10+5)$ nach x abgeleitet?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok ich denke und hoffe das ich es jetzt verstanden habe.
Vielen dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Stimmt denn dann folgende Lösung für die partielle Ableitung nach y?
2x-6x+5?
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Hi,
> Stimmt denn dann folgende Lösung für die partielle
> Ableitung nach y?
> 2x-6x+5?
leider ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") .
Also wir haben [mm] (x^{2}-6x+5)\cdot(-10+y) [/mm] und nun leiten wir dass nach [mm] \\y [/mm] ab.
[mm] \\u(y)=x^{2}-6x+5
[/mm]
[mm] \\u'(y)=0
[/mm]
[mm] \\v(y)=-10+y
[/mm]
[mm] \\v'(y)=1
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=0\cdot(-10+y)+(x^{2}-6x+5)\cdot\\1=x^{2}-6x+5
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Sry mein Fehler hatte auch [mm] x^{2} [/mm] gemeint und nicht 2x.
Ich soll jetzt dann noch alle stationären punkte ermitteln.
hab dafür dann beide gleichungen null gesetzt und hab dann folgendes herausbekommen also:
[mm] x^{2}-6x+5 \Rightarrow [/mm] x1 = 5 und x2 = 1 und habe das dann in die gleichung -20x +60 +2xy -6y eingesetzt.
ich habe dann herausbekommen P1 (5;10) und P2 (1;10)
Sind das alle stationären Punkte oder muss ich noch mehr berechnen?
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Hi Marc,
> Sry mein Fehler hatte auch [mm]x^{2}[/mm] gemeint und nicht 2x.
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> Ich soll jetzt dann noch alle stationären punkte
> ermitteln.
> hab dafür dann beide gleichungen null gesetzt und hab dann
> folgendes herausbekommen also:
> [mm]x^{2}-6x+5 \Rightarrow[/mm] x1 = 5 und x2 = 1 und habe das dann
> in die gleichung -20x +60 +2xy -6y eingesetzt.
> ich habe dann herausbekommen P1 (5;10) und P2 (1;10) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sind das alle stationären Punkte oder muss ich noch mehr
> berechnen?
Das sieht gut aus!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Na dann bin ich ja schonmal etwas beruhigt.
Aber wieso setze ich das in die partielle Ableitung nach x ein und nicht in meine Ausgangsfunktion, weil wenn ich das da einsetzen würde bekäm ich folgende Punkte heraus:
P1(5;0) P2(1;0)
Was ist nun richtig?
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Hallo Marc,
stationäre Punkte sind diejenigen Punkte [mm] $(x_0,y_0)$, [/mm] für die [mm] $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$ [/mm] gilt
Ob es dann auch Extremstellen sind, kannst du klären, wenn du die partiellen Ableitungen 2.Ordnung berechnest und die Hessematrix in den stat. Punkten aufstellst und ihre Definitheit prüfst...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok das heißt dann also wenn ich das richtig verstanden habe das von der funktion : [mm] (x^{2}-6x+5)*(-10+y)
[/mm]
die partiellen Ableitungen: fx = -20x+60+2xy-6y
und fy = [mm] x^{2}-6x+5
[/mm]
sind und die stationären Punkte sind: P1 (5;10)
und P2 (1;10)
Ist das richtig,falsch oder fehlt was?
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Hallo nochmal,
> Ok das heißt dann also wenn ich das richtig verstanden habe
> das von der funktion : [mm](x^{2}-6x+5)*(-10+y)[/mm]
> die partiellen Ableitungen: fx = -20x+60+2xy-6y
> und fy = [mm]x^{2}-6x+5[/mm]
> sind und die stationären Punkte sind: P1 (5;10)
> und
> P2 (1;10)
> Ist das richtig,falsch oder fehlt was?
Ja, nein, nein 
Stimmt alles so
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Di 20.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok dann vielen Dank nochmals für die guten Hilfen.
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
