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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Di 15.03.2005 | | Autor: | mjrr |
Hallo erstmal
Ich habe diese Frage bisher in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich schreibe derzeit meine Facharbeit über "lineare Algebra beim GPS". Allerdings kann ich die eine Gleichung nicht nachvollziehen. Es ist die partielle Ableitung der Länge eines Vektors. Die Länge des Vektors sieht wie folgt aus:
[mm] R(Ges_i) [/mm] = [mm] \wurzel{(Xsat_i - Xges)² + (Ysat_i - Yges)² + (Zsat_i - Zsat)²}
[/mm]
Durch Anwendungs des 1. Gliedes der Taylorreihe ( f(x)= f(x0) + f'(x0)* [mm] \Deltax) [/mm] erhält man den vorläufigen Term (hab leider nicht rausgefunden, wie man Bruchstriche macht... ):
f(x) = [mm] R(Ges_i) [/mm] + ( [mm] \partial(Rges_i))/( \partial [/mm] x) * [mm] \Delta [/mm] x + ( [mm] \partial(Rges_i))/( \partial [/mm] y) * [mm] \Delta [/mm] y + ( [mm] \partial(Rges_i))/( \partial [/mm] z) * [mm] \Delta [/mm] z
Die Ableitung von z.B. [mm] (\partial(Rges_i))/(\partial [/mm] x) soll nach meiner Literatur folgendes ergeben:
f'(x) = (Xges - [mm] Xsat_i)/(Rges_i)
[/mm]
Leider verstehe ich auch nach x-maligem durchprobieren nicht, wie sie auf dieses Ergebnis gekommen sind.... wäre echt super, wenn mir einer von euch helfen könnte!!!!
mjrr
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Hallo,
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> [mm]R(Ges_i)[/mm] = [mm]\wurzel{(Xsat_i - Xges)² + (Ysat_i - Yges)² + (Zsat_i - Zsat)²}
[/mm]
>
>
> Durch Anwendungs des 1. Gliedes der Taylorreihe ( f(x)=
> f(x0) + f'(x0)* [mm]\Deltax)[/mm] erhält man den vorläufigen Term
> (hab leider nicht rausgefunden, wie man Bruchstriche
> macht... ):
>
> f(x) = [mm]R(Ges_i)[/mm] + ( [mm]\partial(Rges_i))/( \partial[/mm] x) *
> [mm]\Delta[/mm] x + ( [mm]\partial(Rges_i))/( \partial[/mm] y) * [mm]\Delta[/mm] y + (
> [mm]\partial(Rges_i))/( \partial[/mm] z) * [mm]\Delta[/mm] z
>
Hier meinst Du wohl f(x,y,z).
Apropo: Was sind hier die Veränderlichen?
> Die Ableitung von z.B. [mm](\partial(Rges_i))/(\partial[/mm] x) soll
> nach meiner Literatur folgendes ergeben:
>
> f'(x) = (Xges - [mm]Xsat_i)/(Rges_i)
[/mm]
>
Es wurde das erste Quadrat genommen und nach einer der Variablen [mm]Xges[/mm] bzw [mm]Xsat_{i}[/mm] abgeleitet.
[mm]
\begin{gathered}
\frac{{\delta R_{ges_i } }}
{{\delta {\text{X}}_{ges} }}\; = \;\frac{\delta }
{{\delta {\text{X}}_{ges} }}\;\sqrt {\left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;X_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {{\text{Y}}_{sat_i } \; - \;Y_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {{\text{Z}}_{sat_i } \; - \;Z_{ges} } \right)^2 } \hfill \\
= \;\frac{{ - 2\;\left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;X_{ges} } \right)}}
{{2\;\sqrt {\left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;X_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {{\text{Y}}_{sat_i } \; - \;Y_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {{\text{Z}}_{sat_i } \; - \;Z_{ges} } \right)^2 } }} \hfill \\
= \;\frac{{ - \left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;X_{ges} } \right)}}
{{\sqrt {\left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;X_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {{\text{Y}}_{sat_i } \; - \;Y_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {{\text{Z}}_{sat_i } \; - \;Z_{ges} } \right)^2 } }} \hfill \\
= \;\frac{{ - \left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;X_{ges} } \right)}}
{{R_{ges_i } }} \hfill \\
= \;\frac{{X_{ges} \; - \;{\text{X}}_{sat_i } }}
{{R_{ges_i } }} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 15.03.2005 | | Autor: | mjrr |
Ersteinmal vielen, vielen Dank für deine schnelle Hilfe!!!!
Allerdings verstehe ich die Umformung vom ersten zum zweiten Schritt deiner Rechung nicht... Kannst du mir die nochmal genauer erklären???
mfg mjrr
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Hallo,
das ist die partielle Ableitung von der Wurzel nach [mm]X_{ges}[/mm].
Betrachte das als eine verkettete Funktion [mm]f\left( {u\left( {{\text{X}}_{ges} ,\;{\text{Y}}_{ges} ,\;Z_{ges} } \right)} \right)[/mm]:
[mm]
\begin{gathered}
f\left( u \right)\; = \;u^{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} \hfill \\
u\; = \;\left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;{\text{X}}_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {Y_{sat_i } \; - \;Y_{ges} } \right)^2 \; + \;\left( {Z_{sat_i } \; - \;Z_{ges} } \right)^2 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann ist die Ableitung von f nach [mm]X_{ges}[/mm] gemäß der Kettenregel:
[mm]\frac{{\delta f}}
{{\delta {\text{X}}_{ges} }}\; = \;\frac{{df}}
{{du}}\;\frac{{\delta u}}
{{\delta {\text{X}}_{ges} }}[/mm]
Also das Produkt aus äußererer und innerer Ableitung.
Konkret also:
[mm]\frac{{\delta f}}
{{\delta {\text{X}}_{ges} }}\; = \;\frac{{df}}
{{du}}\;\frac{{\delta u}}
{{\delta {\text{X}}_{ges} }}\; = \;\frac{1}
{{2\;u^{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} }}\;\left( { - 2\;\left( {{\text{X}}_{sat_i } \; - \;{\text{X}}_{ges} } \right)} \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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