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Soooderle...
[mm] F:R^2-R
[/mm]
ich habe folgende Funktion: für [mm] (x,y)\not= [/mm] 0:
[mm] \bruch{(x_1)^3}{(x_1)^2+(x_2)^2}
[/mm]
für (x,y)=0 : 0
Soo nun soll ich ziegen, dass die Funktion partiell differenzierbar ist:
das mache ich wie immer mit dem differenzenqoutienten;
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{\bruch{(x_1+h)^3}{(x_1+h)^2+(x_2)^2}-\bruch{(x_1)^3}{(x_1)^2+(x_2)^2}}{h}
[/mm]
jetzt f(0,0) = 0 einsetzen:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{\bruch{h^3}{h^2}}{h} [/mm] = 1
ist das richtig?.. dasselbe macht man dann nochmal für die 2te variable richitg?(da kommt dann 0 raus)
damit weiß ich also was die partiellen ableitungen sind und damit ist Grad f(0,0) = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
nun hatten wir den Satz, dass eine funktion genau dann total diffbar ist, wenn
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{f(x+tv)-f(x)}{t}= [/mm] <grad(f(x,y),v>
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{f(x+tv)-f(x)}{t} [/mm] = [mm] (v_1)^3
[/mm]
soo, wenn ich nun wissen will, ob die funktion im Punkt f(0,0) total diffbar ist, ist zu prüfen ob
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{f(x+tv)-f(x)}{t}= [/mm] <grad(f(x,y),v> gilt
also muss gelten : [mm] (v_1)^3= <\vektor{1 \\ 0},v>!= v_1..so [/mm] und genau das gilt nicht!!! => nicht total diffbar in (0,0)
könnt ihr mir sagen ob das hier soweit richitg ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 07.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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