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Hi,
ich sollte folgendes Integral lösen $ [mm] \integral{\frac{1}{x^4+25} dx}$. [/mm] Dazu würde ich die Partialbruchzerlegung verwenden.
Mein Problem ist das ich die Partialbruchzerlegung mit komplexen Wurzeln nicht ganz verstanden habe. Besonders dann wenn sie nicht in der Form [mm] $(x+\wurzel{a})(x-\wurzel{a})$ [/mm] sind.
Ich kann [mm] x^4+1 [/mm] zwar in [mm] $(x^2+\wurzel{5})(x^2-\wurzel{5})$ [/mm] zerlegen, doch hilft mir das nicht weiter.
Wie bekomme ich das [mm] $x^2$ [/mm] weg, oder was soll man damit machen??
Wie kann man [mm] x^4+25 [/mm] in die gewünschte Form [mm] (x^2+px+q) [/mm] bringen (ist das überhaupt die richtige Form?)
Hoffe es kann mir jemand erkären.
Mfg,
Martin
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Hallo plantronics!
Der Trick ist, die Wurzeln von $i$ zu kennen: [mm] $w_{1,2}=\pm\bruch{1}{\sqrt{2}}\pm [/mm] i [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}}$. [/mm] Und die Wurzeln von $-i$ sind [mm] $w_{3,4}=\pm\bruch{1}{\sqrt{2}}\mp [/mm] i [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}}$.
[/mm]
Damit machst du dann den Ansatz
[mm] $\bruch{1}{x^4+25}=\bruch{A}{x-w_{1}\sqrt{5}}+\bruch{B}{x-w_{2}\sqrt{5}}+\bruch{C}{x-w_{3}\sqrt{5}}+\bruch{D}{x-w_{4}\sqrt{5}}$.
[/mm]
So bekommst du die komplexe Partialbruchzerlegung.
Mehr Sinn macht es allerdings wahrscheinlich, sich auf die Suche nach den Stammfunktionen von [mm] $\bruch{1}{1-x^2}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{x^2+1}$ [/mm] zu machen und dann dein Problem mit der reellen Partialbruchzerlegung durch Substitution darauf zurückzuführen, da man sonst eine komplexe Funktion integrieren muss.
Hilft dir das weiter? Sonst gebe ich dir gerne noch einen Tipp!
Gruß, banachella
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Vielen Dank für die Antwort.
> So bekommst du die komplexe Partialbruchzerlegung.
Das mit der Partialbruchzerlegung lasse ich dann, komplexe Fkt. habe ich nocht nichts zu tun.
> Mehr Sinn macht es allerdings wahrscheinlich, sich auf die
> Suche nach den Stammfunktionen von [mm]\bruch{1}{1-x^2}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] zu machen und dann dein Problem mit der
> reellen Partialbruchzerlegung durch Substitution darauf
> zurückzuführen,.
Das horcht sich schon gut an. die Stammfunktionen sind mir auch bekannt:
[mm]\integral \bruch{1}{1-x^2} = 1/2 ln(\left| \bruch{1+x}{1-x} \right| )[/mm] und von
[mm]\integral \bruch{1}{x^2+1} = arctan(x)[/mm].
Nur was sollte ich dann substituieren? Bei [mm] (x^2-5i) [/mm] werde ich wohl kaum eine Chance haben und anders zerlegen kann ich auch nicht und mehr fällt mir nicht ein.
Hoffe es kann mir jemand helfen!
mfg,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Max |
Ich mache mal ein Beispiel:
[mm] $\frac{A}{x^2+\sqrt{5}}=\frac{A}{\sqrt{5}\left(\left(\frac{x}{\sqrt[4]{5}}\right)^2+1\right)}$
[/mm]
Dann siehst du ja sicher ws du substtuieren musst...
Aber du kannst ja auf jeden Fall schon mal die Partialbruchzerlegung machen.
Max
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Danke für die Antwort.
[mm]\frac{A}{x^2+\sqrt{5}}=\frac{A}{\sqrt{5}\left(\left(\frac{x}{\sqrt[4]{5}}\right)^2+1\right)}[/mm]
>
> Dann siehst du ja sicher ws du substtuieren musst...
Das ist mir schon klar. Ich habe gesehen, dass ich in meiner 1. Frage die "i" vergessen habe.
Es sieht nämlich so aus:
[mm]\frac{A}{x^2+5i}=[/mm]
^^
und wenn man das dann so macht habe ich erst recht keine Ahnung wie ich weiter machen soll, da bei keiner mir bekannten subsitution danach das i wegfällt.
Mfg,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 So 10.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Martin
ich denke, man sollte nochmals von vorne beginnen!
Für die Partialbruchzerlegung brauchst du ja die Nullstellen des Nenners.
Wenn eine komplexe Zahl Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten ist, dann ist auch die Konjugiert-Komplexe Zahl davon Nullstelle.
Seien zum Beispiel die 4 Nullstellen deines Polynoms diese:
[mm] $\alpha, \overline{\alpha}, \beta, \overline{\beta}$
[/mm]
Dann lässt sich dein Polynom ja so schreiben:
[mm] $(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})(x-\beta)(x-\overline{\beta})$
[/mm]
Die ersten zwei Klammern kannst du ausmultiplizieren, das hintere Paar ebenfalls. Dann fallen die $i_$ weg!
[mm] $(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})(x-\beta)(x-\overline{\beta})=(x^2-(\alpha+\overline{\alpha})x+\alpha\overline{\alpha})(x^2-(\beta+\overline{\beta})x+\beta\overline{\beta})$
[/mm]
Jetzt konkret:
[mm] $x^4+25$
[/mm]
hier wäre
[mm] $\alpha=\bruch{\wurzel{10}}{2}+\bruch{\wurzel{10}}{2}i$
[/mm]
[mm] $\overline{\alpha}=\bruch{\wurzel{10}}{2}-\bruch{\wurzel{10}}{2}i$
[/mm]
[mm] $\beta=-\bruch{\wurzel{10}}{2}+\bruch{\wurzel{10}}{2}i$
[/mm]
[mm] $\overline{\beta}=-\bruch{\wurzel{10}}{2}-\bruch{\wurzel{10}}{2}i$
[/mm]
Somit:
[mm] $x^4+25=(x-\bruch{\wurzel{10}}{2}-\bruch{\wurzel{10}}{2}i)(x-\bruch{\wurzel{10}}{2}+\bruch{\wurzel{10}}{2}i)(x+\bruch{\wurzel{10}}{2}-\bruch{\wurzel{10}}{2}i)(x+\bruch{\wurzel{10}}{2}+\bruch{\wurzel{10}}{2}i)$
[/mm]
Jetzt also die ersten zwei Klammern ausmultiplizieren, und auch die hinteren zwei:
[mm] $(x^4+25)=(x^2-\wurzel{10}x+5)(x^2+\wurzel{10}x+5)$
[/mm]
Ich habe natürlich nicht diese Formeln ausmultipliziert, sondern
[mm] $\alpha+\overline{\alpha}$ [/mm] resp. [mm] $\alpha*\overline{\alpha}$ [/mm] bestimmt. 
Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist also dieser:
[mm] $\bruch{1}{x^4+25}=\bruch{Ax+B}{x^2-\wurzel{10}x+5}+\bruch{Cx+D}{x^2-\wurzel{10}x+5}$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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Super dank an alle die mir geholfen haben.
Jetzt ist es mir klar!
Danke
Schönen Tag noch,
Martin
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