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hi,
ich habe folgenden ausdruck, den ich partiell bis zur 2. ordnung ableiten soll:
f(x,y) = ln [mm] \wurzel{ x^{2}+y^{2}}
[/mm]
daraus wird zuerst nach x abgeleitet:
f'(x) = 1/ [mm] \wurzel{ x^{2}+y^{2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] / [mm] x^2+y^2
[/mm]
= [mm] x+y/x^2+y^2
[/mm]
aber halt! hier ist irgendwo ein fehler, es sollte naemlich
[mm] x/x^2+y^2 [/mm]
rauskommen.
kann mir einer verraten wie man auf das ergebnis kommt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Di 20.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo koelnkalk
wie wäre es mit der Anwendung der Kettenregel?
Gruss
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo koelnkalk,
> ich habe folgenden ausdruck, den ich partiell bis zur 2.
> ordnung ableiten soll:
In der 1. Klasse der Grundschule? Respekt.
> f(x,y) = ln [mm]\wurzel{ x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> daraus wird zuerst nach x abgeleitet:
>
> f'(x) = 1/ [mm]\wurzel{ x^{2}+y^{2}}[/mm]
Siehe Paulus' Antwort, hier muss die Kettenregel angewendet werden.
Bitte schreibe Brüche mit
\bruch{1}{2} (das ergibt [mm] $\bruch{1}{2}$)
[/mm]
> = [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] / [mm]x^2+y^2[/mm]
>
> = [mm]x+y/x^2+y^2[/mm]
Hier scheinst du zu denken, dass [mm] $\wurzel{x^2+y^2}=x+y$ [/mm] ist -- bitte wieder sofort im Gehirn löschen (falls du es nicht einsiehst: x=y=1 ist ein Gegenbeispiel für diese "Gleichheit").
Probier' es doch noch mal mit der Kettenregel 
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo koelnkalk
> hi,
>
> ich habe folgenden ausdruck, den ich partiell bis zur 2.
> ordnung ableiten soll:
>
> f(x,y) = ln [mm]\wurzel{ x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> daraus wird zuerst nach x abgeleitet:
>
> f'(x) = 1/ [mm]\wurzel{ x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] / [mm]x^2+y^2[/mm]
>
> = [mm]x+y/x^2+y^2[/mm]
>
>
> aber halt! hier ist irgendwo ein fehler, es sollte
> naemlich
>
> [mm]x/x^2+y^2[/mm]
>
> rauskommen.
>
> kann mir einer verraten wie man auf das ergebnis kommt?
>
Da du noch online warst, als ich meinen Tip geschrieben hatte und du nicht reagiert hast, nehme ich an, dass du mit dem Tip, und auch mit Marcs Anmerkungen, nicht viel anfangen kannst. Darum zeige ich es dir ein Bisschen ausführlicher.
Zunächst aber noch eine kleine Anmerkung zur Schreibweise:
Du hast eine Funktion in mehren Variablen (f(x,y)). Wenn du diese nach einer der Variablen ableiten willst (musst, darfst), dann kannst du nicht einfach schreiben f'(x). Vielmehr hat sich für die partielle Ableitung das [mm] $\partial$ [/mm] eingebürgert:
[mm] $\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}$
[/mm]
Oder auch etwa diese Schreibweise: [mm] $f_{.x}(x,y)$
[/mm]
So, nun hast du ja die Funktion
[mm] $\ln \wurzel{ x^{2}+y^{2}}$
[/mm]
gegeben.
Wie du bewiesen hast, könntest du die Logarithmusfunktion an und für sich ableiten.
Du weisst also:
Von
$f(x) = [mm] \ln [/mm] x$
ist die erste Ableitung nach $x_$ folgendes:
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{x}$
[/mm]
Nur haben wir etwas Pech: das Argument des Logarithmus ist nicht einfach $x_$, sondern selber wieder eine Funktion.
Und genau für solche Fälle wird die Kettenregel eingesetzt:
Wenn du [mm] $\ln [/mm] (z)$ nach $z_$ ableiten müsstest, erhieltest du also Resultat [mm] $\bruch{1}{z}$.
[/mm]
Nun musst du das aber nach $x_$ ableiten! Da darf man aber einfach zunächst nach $z_$ ableiten, muss das Resultat aber noch mit einem Faktor multiplizieren, und dieser Faktor ist die Ableitung von $z_$ nach $x_$.
Somit hast du:
[mm] $\ln' [/mm] (z(x)) = [mm] \bruch{1}{z}*z'(x)$
[/mm]
In unserem Falle haben wir aber eine Funktion in zwei Variablen, weshalb wir die oben erwähnte Schreibweise verwenden:
[mm] $\bruch{\partial \ln (z(x,y))}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z(x,y)}*\bruch{\partial z(x,y)}{\partial x}$
[/mm]
Dieses Teilresultat merken wir uns mal, wir müssen es aber noch weiterrechnen. Was ist denn hier $z(x,y)$? Ganz einfach:
[mm] $z(x,y)=\wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
Das müssen wir noch nach x ableiten. Nun stehen wir aber wieder vor dem gleichen Problem:
Von [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] kennen wir die erste Ableitung: [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}}$.
[/mm]
Nur haben wir auch hier unter der Wurzel nicht einfach eine Variable, nach der wir ableiten, sondern eine Funktion, sagen wir mal [mm] $v(x,y)=x^2+y^2$
[/mm]
Und wieder die gleiche Regel:
[mm] $\bruch{\partial \wurzel{v(x,y)}}{\partial x}=\bruch{1}{2\wurzel{v(x,y)}}*\bruch{\partial v(x,y)}{\partial x}$
[/mm]
Das setze ich also beim obigen Teilresultat, das wir uns gemerkt haben, ein und erhalte:
[mm] $\bruch{\partial ln ( \wurzel{v(x,y)} )}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{v(x,y)} }*\bruch{1}{2*\wurzel{v(x,y)}}*\bruch{\partial v(x,y)}{\partial x}$
[/mm]
Nun müssen wir das $v(x,y)$ behandeln.
Es ist [mm] $v(x,y)=x^2+y^2$
[/mm]
Dieses nach $x_$ abzuleiten, bereitet keine Schwierigkeiten mehr: $2x$
Setzen wir das noch oben ein, so erhalten wir:
[mm] $f_{.x}(x,y)=\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2 }}*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+y^2}}*2x$
[/mm]
Die $2_$ lässt sich sofort wegkürzen, und alles auf einen Bruch nehmen:
[mm] $f_{.x}(x,y)=\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2 }*\wurzel{x^2+y^2}}$
[/mm]
Ich denke, dass gilt [mm] $\wurzel{x^2+y^2 }*\wurzel{x^2+y^2}=x^2+y^2$ [/mm] brauche ich dir nicht zu erklären. Trotzdem wenden wir das an und setzen oben ein, womit wir erhalten:
[mm] $f_{.x}(x,y)=\bruch{x}{x^2+y^2}$
[/mm]
Alles klar?
Gruss
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mi 21.09.2005 | | Autor: | koelnkalk |
danke paul!
also ich habe in der zwischenzeit auch eine erklärung für mich zum verständnis gefunden und die ist zusammen mit deiner einsichtig.
wenn ich den ausdruck ln [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] mal in allgemeiner form notiere, entspricht das ja:
a(b(c(z)))
und damit ist klar, dass ich ebenso verschachtelt die ableitungen vornehmen muss. wenn ich dann wie folgt die ableitungen vornehme
[a(b(c(z)))]' * [b(c(z))]' * [c(z)]'
komme ich zu dem von dir beschriebenen ergebnis. jetzt weiss ich auch warum das kettenregel heisst
danke!
frage ist somit beantwortet...
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Hallo koelnkalk!
Wende doch vor dem Ableiten mal ein  Logarithmusgesetz an, denn damit vereinfachst Du die ganze Sache entscheidend: [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$
[/mm]
Das heißt für unsere Aufgabe:
$f(x,y) \ = \ [mm] \ln\wurzel{x^2+y^2} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(x^2+y^2\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+y^2\right)$
[/mm]
Nun weiter mit der Kettenregel ...
Gruß vom
Roadrunner
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