part. Diff. mit impl. funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden implizit gegebenen Funktion z=z(x,y):
[mm] xz^{x}-xye^{z}+cos(x-y+2z)=2 [/mm] |
Guten Morgen!
Hab eine Frage zu o.a. Frage. Doch zuerst etwas Anderes: auf http://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation steht geschrieben, dass [mm] 0=\bruch{d}{dx}F(x,y(x))=\bruch{dF}{dx}+\bruch{dF}{dy}y'=F_{x}+F_{y}y', [/mm] dh [mm] y'=-\bruch{F_{x}}{F_{y}}. [/mm]
Nun zu meiner Frage: Gilt dann für drei Variablen folgendes:
[mm] 0=\bruch{d}{dx}F(x,y,z(x,y))=\bruch{dF}{dx}+\bruch{dF}{dy}+\bruch{dF}{dz}z' [/mm] bzw. [mm] 0=\bruch{d}{dy}F(x,y,z(x,y))=\bruch{dF}{dx}+\bruch{dF}{dy}+\bruch{dF}{dz}z'
[/mm]
Oder muss man diesbezüglich einen anderen Algorithmus verwenden?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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Hi,
> Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der
> folgenden implizit gegebenen Funktion z=z(x,y):
>
> [mm]xz^{x}-xye^{z}+cos(x-y+2z)=2[/mm]
> Guten Morgen!
>
> Hab eine Frage zu o.a. Frage. Doch zuerst etwas Anderes:
> auf http://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation
> steht geschrieben, dass
> [mm]0=\bruch{d}{dx}F(x,y(x))=\bruch{dF}{dx}+\bruch{dF}{dy}y'=F_{x}+F_{y}y',[/mm]
> dh [mm]y'=-\bruch{F_{x}}{F_{y}}.[/mm]
>
richtig.
> Nun zu meiner Frage: Gilt dann für drei Variablen
> folgendes:
> [mm]0=\bruch{d}{dx}F(x,y,z(x,y))=\bruch{dF}{dx}+\bruch{dF}{dy}+\bruch{dF}{dz}z'[/mm]
> bzw.
> [mm]0=\bruch{d}{dy}F(x,y,z(x,y))=\bruch{dF}{dx}+\bruch{dF}{dy}+\bruch{dF}{dz}z'[/mm]
>
nein, das stimmt so nicht. du wendest hier ja lediglich die (mehrdimensionale) kettenregel an, dann kommst du auf
[mm] $\bruch{d}{dx}F(x,y,z(x,y))=\bruch{dF}{dx}\frac{d\,x}{dx}+\bruch{dF}{dy}\frac{d\,y}{dx}+\bruch{dF}{dz}\frac{d\,z}{dx}$
[/mm]
hier ist natürlich $dx/dx=1$ und $dy/dx=0$, da wir hier kartesische koordinaten vorliegen haben. also kommst du auf
[mm] $\bruch{d}{dx}F(x,y,z(x,y))=\bruch{dF}{dx}+\bruch{dF}{dz}\frac{d\,z}{dx}$
[/mm]
analog für y. alles ganz leicht, wenn man die kettenregel kann... 
VG
Matthias
> Oder muss man diesbezüglich einen anderen Algorithmus
> verwenden?
>
> Freue mich auf eine Antwort.
>
> Gruß, h.
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Vielen Dank für die antwort.
Warum ist dy/dx=0? Ich bin nicht draufgekommen.
Ist dann dx/dy auch 0?
Gruß, h.
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> Vielen Dank für die antwort.
>
> Warum ist dy/dx=0?
wenn du eine mehrdimensionale funktion partiell ableitest, behandelst du doch alle bis auf eine veraenderliche als konstante. wenn du also $f(x,y)=y$ nach x ableitest, ist y nur eine konstante, die ableitung also null.
> Ich bin nicht draufgekommen.
> Ist dann dx/dy auch 0?
>
yep.
> Gruß, h.
VG
Matthias
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