parametrisierte Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
es ist ein maximales t [mm] \in \IR [/mm] gesucht, so dass gilt:
[mm] \forall x\in \IR_+^{\*}: e^x \ge tx^n
[/mm]
Momentan machen wir Taylor-Polynome und Maxima/Minima von Funktionen; wahrscheinlich kommt man mit der n-ten Ableitung bzw. der Maximumbestimmung zum Ziel,
leider hab ich keine Ahnung wie, da ja t maximiert werden soll, und schon bei der ersten Ableitung wegfällt...
Wie kann man das maximale t bestimmen?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Polux,
ich kann schon mal das $t$ abschätzen, aber ob es bereits der maximale Wert ist, bleibt die Frage:
[mm] $e^x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\ge \frac{x^n}{n!}=tx^n$ [/mm] mit [mm] $t=\frac{1}{n!}$, [/mm] da $x>0$. Damit kann man $t$ schonmal mindestens so groß wählen.
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
das mit der Reihenentwicklung für die E-Funktion, war wohl schon ganz gut. Ich glaube aber, dass man hier ein Extremum bestimmen muss. Wie geht man hier aber vor?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Pollux |
Kennt ihr eine Lösung, welche die n-te Ableitung verwendet. Ich habe nämlich sehr den Verdacht, dass es darauf hinausläuft...
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Hallo Pollux,
mit der n-ten Ableitung kann ich leider nicht dienen, aber immerhin mit einem Lösungsansatz:
Die Funktion [mm] $f_n(x)=e^x-t*x^n$ [/mm] soll nicht-negativ (auf [mm] $\IR^+$). [/mm] Das ist sie, wenn sie dort keine Nullstelle hat, da [mm] $f_n(0)=1$.
[/mm]
[mm] $f_n$ [/mm] hat aber genau dann eine Nullstelle, wenn es ein [mm] $x_0>0$ [/mm] gibt, so dass [mm] $t=\bruch{e^{x_0}}{x^n_0}$. [/mm]
Man kann zeigen, dass die Funktion [mm] $g_n(x)=\bruch{e^{x}}{x^n}$ [/mm] ihr Minimum in [mm] $x_0=n$ [/mm] annimmt.
Also ist das kleinste $t$, für das [mm] $f_n$ [/mm] eine Nullstelle hat, [mm] $g_n(n)$.
[/mm]
Wenn du jetzt noch zeigen kannst, dass [mm] $f_n$ [/mm] für [mm] $t=g_n(n)$ [/mm] keinen Nulldurchgang hat, also nirgends negativ wird, dann hast du dein gesuchtes $t$ gefunden. Denn für alle [mm] $t
Und du solltest noch zeigen, dass für [mm] $t>g_n(n)$ $f_n(x)<0$ [/mm] für ein $x>0$.
Klappt's damit?
Gruß, banachella
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