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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen:
[mm] fa(x)=\bruch{1}{4}x^4+x^3-\bruch{a}{2}x^3-3ax^2
[/mm]
[mm] gb(x)=\bruch{1}{3}x^3-bx^2+4x
[/mm]
Bestimmen sie den Parameter a so , dass die Funktion zur y Achse symetrisch ist.
Begründen sie ihre Rechnung.
2) Bestimmen sie a so ,dass an der stelle x=4 ein Wendepunkt liegt |
Frage zur 1)
Wie kann ich den a so bestimmen das der achsensymetrisch wird der graph zur y achse ich denke das geht nicht denn die symetrie richtet sich doch nach dem exponenten ob sie gerade oder ungereade sind in diesem fall wäre der graph nicht symetrisch da er über gerade sowie ungerade exponenten verfügt.
Vielleicht noch eine Frage am Rand wie kann ich in abhänigkeit von a die funktion auf hoch oder tiefpunkte untersuchen, ich leite doch dann einfach ab und setze für a nichts ein richtig?
2) In diesem Fall muss ich diue funktion nach a auflösen und für x =4 einsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Mo 06.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sind die Funktionen:
> [mm]fa(x)=\bruch{1}{4}x^4+x^3-\bruch{a}{2}x^3-3ax^2[/mm]
> [mm]gb(x)=\bruch{1}{3}x^3-bx^2+4x[/mm]
>
> Bestimmen sie den Parameter a so , dass die Funktion zur y
> Achse symetrisch ist.
> Begründen sie ihre Rechnung.
Wenn die Funktion acsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, muss der Koeffizeint vor dem x³=0 werden.
Also:
[mm] f_{a}(x)=\bruch{1}{4}x^{4}+x^{3}-\bruch{a}{2}x^{3}-3ax^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}x^{4}+\left(1-\bruch{a}{2}\right)x^{3}-3ax^{2}
[/mm]
Jetzt bestimmme mal [mm] a_{sym} [/mm] so, dass gilt: [mm] 1-\bruch{a_{sym}}{2}=0, [/mm] dann steht da:
[mm] \bruch{1}{4}x^{4}+\overbrace{\left(1-\bruch{a_{sym}}{2}\right)}^{=0}x^{3}-3a_{sym}x^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}x^{4}-3a_{sym}x^{2}
[/mm]
Und das ist eine y-achsensymmetrische Funktion.
>
> 2) Bestimmen sie a so ,dass an der stelle x=4 ein
> Wendepunkt liegt
Da [mm] x_{w}=4 [/mm] eine Wendestelle sein soll, und die notwenige Bedingung für eine Wendestelle [mm] f_{a}''(x_{w})=0 [/mm] ist, suchst du das a, so dass
[mm] f_{a}''(4)=0
[/mm]
>
> Vielleicht noch eine Frage am Rand wie kann ich in
> abhänigkeit von a die funktion auf hoch oder tiefpunkte
> untersuchen, ich leite doch dann einfach ab und setze für a
> nichts ein richtig?
>
Du betrachtest ganz normal die notwendigen Bedingungen erfüllen, also bei den entsprechenden Ableitungen die Werte für x ermitteln (in Abhängigkeit vom Parameter)
Beispiel: Nullstellen von [mm] g_{b}(x)=\bruch{1}{3}x^3-bx^2+4x
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{3}x^3-bx^2+4x=0
[/mm]
[mm] \gdw x\left(\bruch{1}{3}x²-bx+4\right)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{0_{1}}=0 [/mm] oder [mm] \bruch{1}{3}x²-bx+4=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}x²-bx+4=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-3bx+12=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{0_{2;3}}=\bruch{3b}{2}\pm\wurzel{\bruch{9b²}{4}-12}
[/mm]
Jetzt kannst du mal überlegen, für welche b-Werte es eine, zwei, oder keine weitere Nullstellen neben [mm] x_{0_{1}}=0 [/mm] gibt
Marius
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