parameter-abhängiges integral < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für x [mm] \in [/mm] R gilt:
[mm] F(x):=\int_{-\infty}^{\infty}~e^{-t^{2}}cos(xt)~dt=\sqrt{\pi}e^{-\frac{x^{2}}{4}}
[/mm]
Anleitung: Zeigen Sie, dass F eine Lösung der DGL [mm] y'=-\frac{x}{2}y [/mm] mit dem Anfangswert [mm] y(0)=\sqrt{\pi} [/mm] ist.
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Hallo Leute!
Ich hab gezeigt, dass F wirklich eine Lösung der DGL ist, aber nun weiß ich nicht, wie ich die Gleichheit zu diesem parameter-abhängigen Integral zeigen soll (muss ich das überhaupt?) und dass es für alle x gilt...
Hat da jemand eine Idee?
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass für x [mm]\in[/mm] R gilt:
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> [mm]F(x):=\int_{-\infty}^{\infty}~e^{-t^{2}}cos(xt)~dt=\sqrt{\pi}e^{-\frac{x^{2}}{4}}[/mm]
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> Anleitung: Zeigen Sie, dass F eine Lösung der DGL
> [mm]y'=-\frac{x}{2}y[/mm] mit dem Anfangswert [mm]y(0)=\sqrt{\pi}[/mm] ist.
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> Hallo Leute!
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> Ich hab gezeigt, dass F wirklich eine Lösung der DGL ist,
> aber nun weiß ich nicht, wie ich die Gleichheit zu diesem
> parameter-abhängigen Integral zeigen soll (muss ich das
> überhaupt?) und dass es für alle x gilt...
>
> Hat da jemand eine Idee?
überleg nochmal für ne sekunde...
schau mal, die dgl sieht sehr leicht aus, da bietet es sich an, sie mal einfach zu lösen, oder? versuch das mal. sollte 'zufällig' die funktion auf der rechten seite der gleichung oben herauskommen, bist du fertig. du musst lediglich noch kurz argumentieren, dass die dgl. eine EINDEUTIGE lösung besitzt, was gewöhnlich über ein lipschitz-argument läuft.
Achso, falls noch nicht geschehen, musst du natürlich noch zeigen , dass [mm] $F(0)=\sqrt{\pi}$ [/mm] gilt.
gruß
matthias
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Ja, die DGL hab ich schon gelöst, und auch das richtige ergebnis rausbekommen. Aber muss ich hier nicht noch irgendwas anderes zeigen? Und wenn ja, wie mach ich das?
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> Ja, die DGL hab ich schon gelöst, und auch das richtige
> ergebnis rausbekommen. Aber muss ich hier nicht noch
> irgendwas anderes zeigen? Und wenn ja, wie mach ich das?
ich bin mir nicht ganz sicher, ob du mich richtig verstehst. du musst dir die dgl. [mm] $y'=-\frac{x}{2} [/mm] y$ nehmen und lösen, mit trennung der variablen. wenn du dann die rechte seite der gleichung (e^ irgendwas) rauskriegst, bist du fertig. (siehe mein erstes posting)
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