parallele affine Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] A(W_{1}),A(W_{2}) [/mm] zwei schwach parallele affine Unterräume von A(V). Zeigen Sie:
1) Es gilt entweder [mm] A(W_{1})\subset A(W_{2}),A(W_{1})\not=A(_{2}) [/mm] oder [mm] A(W_{1})\cap A(W_{2})=\emptyset.
[/mm]
2)Es existiert ein affiner Unterraum [mm] N\subset A(W_{2}),N \not= A(W_{2}) [/mm] mit der Eigenschaft [mm] N\parallel A(W_{1}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Also zwei affine Unterräume sind schwach parallel, falls [mm] W_{1} \subset W_{2} [/mm] und [mm] W_{1} \not= W_{2} [/mm] gilt.
zu 1) Ich habe probiert einen Beweis durch Widerspruch zu führen.
Annahme: [mm] A(W_{1}) \cap A(W_{2}) \not= \emptyset
[/mm]
P [mm] \in A(W_{1}) \cap A(W_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow A(W_{1})=P+W_{1} [/mm] und [mm] A(W_{2})= P+W_{2} [/mm]
Und hier komme ich jetzt nicht weiter.Oder war dieser Ansatz schon völlig falsch.Vielen Dank für eure Mühe und Hilfe.
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Hey und hallo,
ich wollt eigentlich ne Antwort dazu schreiben, aber geht irgendwie nicht. Na ja, ich schreib mal, was ich mir dazu gedacht habe:
Wenn doch [mm] W_1\subsetneq W_2 [/mm] ist, so ist doch mit [mm] P\in A(W_1)\cap A(W_2) [/mm] und [mm] A(W_i)=P+W_i [/mm] klar, dass dann auch
[mm] A(W_1)=P+W_1\subset P+W_2 [/mm] ist. Und ''='' kann nicht gelten, sonst wäre [mm] W_1=W_2 [/mm] (Beweis dazu schreib ich auch noch hin,
das hilft dann vielleicht noch: sei also [mm] w\in W_2, [/mm] dann ist [mm] P+w\in A(W_2), [/mm] wäre also nach Annahme in [mm] A(W_1), [/mm] also gäb es
[mm] w_1\in W_1 [/mm] mit [mm] w_1+P=w+P, [/mm] also [mm] w_1=w).
[/mm]
Also war dein Ansatz doch richtig, du hättest ihn halt nur zuende hinschreiben müssen.
Viele Grüsse
just-math
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