p normen lokal gleichm kvgt? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 14.10.2010 | | Autor: | ponyka87 |
Hallo,
erstmal ist es klar dass die p norm eines vektors gegen die sup norm für p gegen unendlich konvergiert (mir reicht der fall wenn ich im [mm] \IR^n [/mm] bin).
meine frage ist jetzt, ob dies gleichmäßig auf kompakten intervallen gilt?
erstmal ist klar, dass punktweise konvergenz vorliegt. dementsprechend fehlt mir nur noch gleichgradige stetigkeit. aber intuitiv sollte die gelten, weil ja die norm für wachsendes p fallend ist oder?
vielen lieben dank für eure hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> erstmal ist es klar dass die p norm eines vektors gegen
> die sup norm für p gegen unendlich konvergiert (mir reicht
> der fall wenn ich im [mm]\IR^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bin).
Wenn Du das meinst, so hast Du recht:
(*) $||x||_p=\wurzel[p]{|x_1|^p+ ...+|x_n|^p} \to max\{|x_1|, ..., |x_n| \}=||x||_{\infty}$ für p \to \infty
($x=(x_1, ...,x_n) \in\IR^n$)
> meine frage ist jetzt, ob dies gleichmäßig auf kompakten
> intervallen gilt?
Was meinst Du genau damit. Präzisiere Deine Frage.
> erstmal ist klar, dass punktweise konvergenz vorliegt.
Wo ? Von welcher Situation sprichst Du ?
Meinst Du mit punktweiser Konvergenz das:
$||x||_p \to ||x||_{\infty}$ für p \to \infty punktweise auf \IR^n
> dementsprechend fehlt mir nur noch gleichgradige
> stetigkeit.
Jetzt gerätst Du aber aus der Spur. Meinst Du gleichmäßige Konvergenz ?
Wir machen das mal so:
Überzeuge Dich von
(**) $ ||x||_{\infty} \le ||x||_p \le \wurzel[p]{p}||x||_{\infty} $ für x \in \IR^n
(diese Ungleichungen zeigen (*) !!)
Aus (**) folgt:
(***) $0 \le ||x||_p -||x||_{\infty} \le ( \wurzel[p]{p}-1)*||x||_{\infty} $
Ist nun K \subseteq \IR^n kompakt . so gibt es einC>0 mit: ||x||_{\infty} \le C für jedes x \in K
Aus (***) erhalten wir:
$0 \le ||x||_p -||x||_{\infty} \le ( \wurzel[p]{p}-1)*C} $ für x \in K.
Was sagt Dir das über glm. Konvergenz ?
FRED
> aber intuitiv sollte die gelten, weil ja die
> norm für wachsendes p fallend ist oder?
> vielen lieben dank für eure hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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