p ist 1 kongruent 4 (QRG) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Nehmen wir an, eine Primzahl p sei kongruent 1 modulo 4, nach Lagrange also schreibbar
in der Form[mm] p = a^2 + b^2[/mm], mit a, b [mm] \in [/mm] Z. Dabei sei a o.B.d.A. a ungerade.
(Warum ist das eine legitime Annahme?)
Zeige:
1.[mm]\left( \bruch{a}{p} \right)=1[/mm]
2.[mm]\left( \bruch{(a+b)}{p} \right)=(-1)^(\bruch{((a+b)^2)-1}{8})[/mm]
3.[mm](a+b)^(\bruch{p-1}{2})\equiv (2ab)^(\bruch{p-1}{4})(mod p)[/mm]
b) Sei nun weiterhin f eine Zahl mit [mm]b\equiv af (mod p)[/mm]
1.[mm]f^2\equiv (-1) (mod p)[/mm]
2.[mm]2^(\bruch{p-1}{4})\equiv f^(\bruch{ab}{2}) (mod p)[/mm]
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Hallo...
Es ist mir zwar unangenehm so kurz hintereinander Fragen zu stellen, aber ich hab hier angefangen und kam dann recht schnell nicht mehr weiter....
Klar ist: a ungerade ist eine legitime annahme! Da p ungerade und als Summe zweier Quadratzahlen schreibbar ist, muss eine der beiden ungerade sein!
Die 1 bei der a) Wenn man sich Überlegt, was was teilt findet man recht schnell heraus, dass a quadratischer Rest bzgl. p ist und somit gilt diese Identität.
Bei der 2. erinnert mich einiges an den 2. Ergänzungssatz des QRG...aber weiter komme ich nicht...
Bei den anderen fehlen mir die Ideen...
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte....
Gruß M.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 So 13.05.2007 | | Autor: | Jotwie |
| Aufgabe | Ich denke, das zweite müßte so gehen wie das erste. Die dritte würde ich mal probieren für kleine a,b,p. Haste das schon mal probiert?
Die unteren sehen schwieriger aus. Wie lange machst Du schon daran? |
Ich werde mich mal darum kümmern, wenn ich Zeit habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 16.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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