p-Sylowgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 24.03.2012 | | Autor: | tau |
| Aufgabe | | Sei G endlich und abelsche Gruppe, so hat G eine einzige p-Sylowgruppe. |
Hat jemand ne Idee wie diese Aussage beweisen kann? MFG
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> Sei G endlich und abelsche Gruppe, so hat G eine einzige
> p-Sylowgruppe.
> Hat jemand ne Idee wie diese Aussage beweisen kann? MFG
moin,
Zuerst einmal sollte die Mächtigkeit von $G$ doch gerne durch $p$ teilbar sein, denn sonst hat $G$ garkeine $p$-Sylowgruppe.
Wenn die Teilbarkeit erfüllt ist: Kennst du diesen Satz: Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
Wenn du den kennst dann überleg dir, dass du de facto nur die im Link aufgeführten Produkte von [mm] $\IZ_n$ [/mm] betrachten musst; für diese solltest du die Aussage gezeigt kriegen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 So 25.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow
> > Sei G endlich und abelsche Gruppe, so hat G eine einzige
> > p-Sylowgruppe.
> > Hat jemand ne Idee wie diese Aussage beweisen kann? MFG
>
>
> moin,
>
> Zuerst einmal sollte die Mächtigkeit von [mm]G[/mm] doch gerne
> durch [mm]p[/mm] teilbar sein, denn sonst hat [mm]G[/mm] garkeine
> [mm]p[/mm]-Sylowgruppe.
Doch: [mm] $\{ e \}$.
[/mm]
> Wenn die Teilbarkeit erfüllt ist: Kennst du diesen Satz:
> Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
>
> Wenn du den kennst dann überleg dir, dass du de facto nur
> die im Link aufgeführten Produkte von [mm]\IZ_n[/mm] betrachten
> musst; für diese solltest du die Aussage gezeigt kriegen.
Es geht noch wesentlich einfacher, indem man den ![[]](/images/popup.gif) 2. Sylowsatz verwendet. Damit ist das ganze ein Einzeiler.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Mo 26.03.2012 | | Autor: | hippias |
Und falls noch Bedarf an weiteren Alternativen bestehen sollte: Man kann im abelschen Fall die $p$-Sylowgruppen auch direkt angeben als Menge aller $p$-Elemente. Fuer den Nachweis, dass dies tatsaechlich dann die $p$-Sylowgruppe ist, benoetigt man nur den Satz von Cauchy.
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