p-Norm für 0 < p < 1 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein reeller Vektorraum V.
Ist 0 < p < 1 und definiert man
[mm] ||v||_{p}:= (|x_{1}|^p [/mm] + ... + [mm] |x_{n}|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
für v = [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) \in \IR^{n}, [/mm] so ist [mm] ||.||_p [/mm] keine Norm auf [mm] \IR^{n}, [/mm] falls n [mm] \ge [/mm] 2. |
Ich kann mir die Normen für [mm] p=1,2,\infty [/mm] vorstellen. Darüber hinaus auch wie sich die Räume für größer oder kleiner werdene p aussehen. Somit ist für p < 1 der Raum nicht mehr konvex. (Eventuell benötige ich das hier für die Aufgabe)
Um zu zeigen, das für 0 < p < 1 keine Norm vorliegt, muss ich an vier Normaxiomen argumentieren:
1) [mm] ||v||_{p} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] dem entsprechenden metrischen Raum
2) [mm] ||v||_{p} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] v = 0
3) [mm] ||\lambda [/mm] * [mm] v||_{p} [/mm] = [mm] |\lambda| [/mm] * [mm] ||v||_{p} \qquad \forall \lambda \in \IR
[/mm]
4) [mm] ||v+w||_{p} \le ||v||_{p} [/mm] + [mm] ||w||_{p} \qquad \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V.
Da ich die ersten drei Normaxiome nachweisen konnte, muss im vierten wohl der Widerspruch liegen.
Leider komme ich nicht weit:
Sei w = [mm] (w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{n})
[/mm]
[mm] ||v||_{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
[mm] ||w||_{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} |w_{i}|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
[mm] ||v+w||_{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} |(x_{i} [/mm] + [mm] w_{i})|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Zu zeigen gilt, das diese Ungleichung nicht gilt:
[mm] ||v+w||_{p} \le ||v||_{p} [/mm] + [mm] ||w||_{p}
[/mm]
Wenn ich mir testweise konkrete v, w und p vorgebe, dann scheint es zu klappen.
Irgendwie muss ich mir ja zu nutze machen, das 0 < p < 1 gilt. Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: zeige , dass $ [mm] ||\lambda [/mm] $ * $ [mm] v||_{p} [/mm] $ = $ [mm] |\lambda| [/mm] $ * $ [mm] ||v||_{p} [/mm] $ nicht gilt !
FRED
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