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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um ein Gefühl für die Aufgabe zu bekommen habe ich die Ungleichung anhand konkreter Werte durchgerechnet. Habe mir dazu einen Vektor x im [mm] \IR^3 [/mm] genommen, (dann ist ja d = 3) und p habe ich 2 und q habe ich 3 gesetzt. Tatsächlich - die Ungleichung scheint zu stimmen.
Was mir noch aufgefallen ist:
(1) d ist [mm] \ge [/mm] 1
(2) [mm] \frac{1}{p} [/mm] > [mm] \frac{1}{q} \Rightarrow \frac{1}{p} [/mm] - [mm] \frac{1}{q} \in [/mm] (0, [mm] \frac{1}{q}) [/mm] und [mm] \frac{1}{p} [/mm] - [mm] \frac{1}{q} [/mm] < 1
(3) [mm] d^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \ge [/mm] 1
Nun habe ich [mm] |x|_p [/mm] mal ausgeschrieben:
[mm] |x|_p [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{d} |x_k|^p)^{\frac{1}{p}}
[/mm]
So und das muss ich ja jetzt irgendwie so abschätzen, dass ich auf das, was auf der rechten Seite der Ungleichung in der Aufgabenstellung komme. Aber dazu fehlt mir leider die zündende Idee. :(
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Um ein Gefühl für die Aufgabe zu bekommen habe ich die
> Ungleichung anhand konkreter Werte durchgerechnet. Habe mir
> dazu einen Vektor x im [mm]\IR^3[/mm] genommen, (dann ist ja d = 3)
> und p habe ich 2 und q habe ich 3 gesetzt. Tatsächlich -
> die Ungleichung scheint zu stimmen.
>
> Was mir noch aufgefallen ist:
> (1) d ist [mm]\ge[/mm] 1
> (2) [mm]\frac{1}{p}[/mm] > [mm]\frac{1}{q} \Rightarrow \frac{1}{p}[/mm] -
> [mm]\frac{1}{q} \in[/mm] (0, [mm]\frac{1}{q})[/mm] und [mm]\frac{1}{p}[/mm] -
> [mm]\frac{1}{q}[/mm] < 1
> (3) [mm]d^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \ge[/mm] 1
>
> Nun habe ich [mm]|x|_p[/mm] mal ausgeschrieben:
>
> [mm]|x|_p[/mm] = [mm](\summe_{k=1}^{d} |x_k|^p)^{\frac{1}{p}}[/mm]
>
> So und das muss ich ja jetzt irgendwie so abschätzen, dass
> ich auf das, was auf der rechten Seite der Ungleichung in
> der Aufgabenstellung komme. Aber dazu fehlt mir leider die
> zündende Idee. :(
ich komme da selbst momentan nicht so ganz wirklich weiter. Aber ein Anfang wäre es, zu versuchen, so umzuformen, dass man die ![[]](/images/popup.gif) Hölderungleichung ins Spiel bringen kann. Natürlich nicht direkt für diese $p$ und $q$ von oben, da dort ja nichts zwangsläufig [mm] $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. [/mm] Aber vielleicht kann man ja ansetzen:
Weil $1 < p$, ist $0 < [mm] \frac{1}{p} [/mm] < 1$. Sei [mm] $p\,' [/mm] > 1$ so, dass [mm] $\frac{1}{p}+\frac{1}{p\,'}=1$...
[/mm]
Wie gesagt:
Da musst Du ein wenig rumrechnen und vll. auch mal anfangs die Ungleichung soweit äquivalent umformen (o.B.d.A. kannst Du dabei oben ja $x [mm] \not=0$ [/mm] annehmen), bis Du zu einer Ungleichung gelangst, wo Du vielleicht erkennst, dass diese bzw. wie diese aus der Hölderungleichung folgt. Ich hoffe, dass das zielführend ist, garantieren kann ich dafür nicht 
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für deinen Beitrag.
Gestern und heute habe ich mich nochmals intensiv mit der Aufgabe befasst und bin nicht wirklich weiter gekommen - auch nicht mit deinem Ansatz.
Ein weiterführender Tipp wäre weltklasse. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deinen Beitrag.
>
> Gestern und heute habe ich mich nochmals intensiv mit der
> Aufgabe befasst und bin nicht wirklich weiter gekommen -
> auch nicht mit deinem Ansatz.
>
> Ein weiterführender Tipp wäre weltklasse. :)
das ist für mich insofern gerade schwierig, weil ich die Aufgabe selbst noch nicht gelöst habe. Aber interessantes findest du sicher zum Beispiel auch hier.
(MSS's Beitrag dort ist insbesondere sicherlich hier hilfreich, wenngleich die eigentliche Fragestellung dort eine andere ist. Aber er formuliert interessante Lemmata.)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
kleines Update:
Habe jetzt in unserem Skript folgendes Sätzchen gefunden:
Seien 1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \infty [/mm] und x [mm] \in \IK^d. [/mm] Dann gelten
[mm] |x|_{\infty} \le |x|_p \le |x|_1 \le d^{\frac{1}{p'}}|x|_p [/mm] und [mm] |x|_p \le d^{\frac{1}{p}}|x|_{\infty}
[/mm]
Das hat mir bei meinem Problem etwas geholfen:
[mm] |x|_p \le d^{\frac{1}{p}} |x|_{\infty} \le d^{\frac{1}{p}} |x|_q,
[/mm]
da ja q > p ist die q-Norm kleiner als die p-Norm. Jetzt steht das ja schon fast da. Nur der Exponent stimmt noch nicht.
Die Lemmata von MMS haben mir da leider nicht geholfen...
Hat sonst noch jemand ne idee? :) Marcel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> kleines Update:
>
> Habe jetzt in unserem Skript folgendes Sätzchen gefunden:
>
> Seien 1 [mm]\le[/mm] p [mm]\le \infty[/mm] und x [mm]\in \IK^d.[/mm] Dann gelten
>
> [mm]|x|_{\infty} \le |x|_p \le |x|_1 \le d^{\frac{1}{p'}}|x|_p[/mm]
> und [mm]|x|_p \le d^{\frac{1}{p}}|x|_{\infty}[/mm]
>
> Das hat mir bei meinem Problem etwas geholfen:
>
> [mm]|x|_p \le d^{\frac{1}{p}} |x|_{\infty} \le d^{\frac{1}{p}} |x|_q,[/mm]
>
> da ja q > p ist die q-Norm kleiner als die p-Norm. Jetzt
> steht das ja schon fast da. Nur der Exponent stimmt noch
> nicht.
>
> Die Lemmata von MMS haben mir da leider nicht geholfen...
>
> Hat sonst noch jemand ne idee? :) Marcel?
Idee: Ja. Ob's die Lösung des Problems ist: Da bin ich gerade zu faul zum nachrechnen. D.h. evtl. kommst Du damit weiter, evtl. nicht. Aber dennoch:
Wenn ich das richtig verstehe, weißt Du:
Für $r,s [mm] \in (1,\infty)$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1$ [/mm] gilt:
[mm] $|x|_r \le d^{\frac{1}{r}}|x|_s$
[/mm]
Für $1 < p < q < [mm] \infty$ [/mm] definieren wir $r$ so, dass [mm] $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}$, [/mm] d.h. [mm] $r:=\frac{qp}{q-p}$ [/mm] und $s$ so, dass [mm] $\frac{1}{s}=1-\frac{1}{r}$, [/mm] d.h. [mm] $s:=\frac{r}{r-1}$. [/mm]
Wir nehmen jetzt einfach mal an, dass $r > 1$ gelte. Dann gilt jedenfalls:
[mm] $|x|_r \le d^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}|x|_s$
[/mm]
Wenn Du Glück hast, folgt damit dann die Behauptung, wenn man [mm] $|x|_r$ [/mm] und [mm] $|x|_s$ [/mm] entsprechend "schön" ersetzen kann. Und ich hoffe, dass man im Falle $0 < r < 1$ irgendwie noch anders argumentieren könnte (sofern das hier mit dem Falle $r > 1$ überhaupt klappt), so dass man das auf diesen Fall dann zurückführen kann...
Naja, wie gesagt: Nur eine Idee, die nicht zu Ende gedacht worden ist...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
wieder Danke für deine Ausführungen.
du schreibst:
"Wenn ich das richtig verstehe weißt du:
Für r, s [mm] \in \{1, \infty\} [/mm] mit [mm] \frac{1}{r} [/mm] + [mm] \frac{1}{s} [/mm] = 1 gilt:
[mm] |x|_r \le d^{\frac{1}{r}} |x|_s" [/mm]
Zitat Ende.
Naja so habe ich das ja nicht gesagt. In unserem Skript wird nicht explizit gefordert, dass [mm] \frac{1}{r} [/mm] + [mm] \frac{1}{s} [/mm] = 1 gilt. Der Satz gilt ganz allgemein für 1 < p < s < [mm] \infty.
[/mm]
An der Richtigkeit deiner letzten Ungleichung:
[mm] |x|_r \le d^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}} |x|_s [/mm] mit r := [mm] \frac{qp}{q-p}, [/mm] s := [mm] \frac{r}{r-1} [/mm] sollte das natürlich nichts ändern.
Ich habe das jetzt alles mal wieder so aufgeschrieben und versuche nun - wie du sagtest - [mm] |x|_r [/mm] und [mm] |x|_s [/mm] schön zu ersetzen.
Allerdings ist mir noch unklar, wie ich das tun soll. Naja - seis drum.
Falls noch jemand eine Idee hat, wie man das lösen könnte - nur raus damit. Falls nicht poste ich nächste Woche die Musterlösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Di 06.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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