p-Norm, Konverenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 So 08.05.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | sei [mm] (\Omega, \mathcal{A},\mu) [/mm] endlicher Maßraum, [mm] f:(\Omega, \mathcal{A}) [/mm] -> [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] messbare Funktion und [mm] 0
zeigen sie:
a) [mm] \parallel f\parallel_p< \infty \Rightarrow lim_{n->\infty}n^p \mu(|f|>n)=0.
[/mm]
b) [mm] lim_{n->\infty}n^p \mu(|f|>n)=0 \Rightarrow \parallel f\parallel_\alpha [/mm] < [mm] \infty \forall 0<\alpha [/mm] < p.
Hinweis: Ohne Beweis kann man verwenden für [mm] \alpha [/mm] >0:
[mm] \int |f|^\alpha d\mu=\alpha \int_{[0,\infty)} t^{\alpha-1}\mu(|f|>t)\lambda(dt). [/mm] |
hey, ich probier schon den ganzen morgen an der aufgabe rum, finde aber überhaupt keinen ansatz. kann mir vielleicht jemand einen tipp geben, in welche richtung das ganze geht? und was man beachten muss?
wäre super,
viele grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 08.05.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
probiers mal bei a)
mit ner Abschätzung nach oben:
[mm] n^p\mu(|f|>n)=\int_{\{|f|>n\}}n^p d\mu\le \int_{\{|f|>n\}}|f|^p d\mu
[/mm]
Dann auf den Limes betrachten. Nach dem Satz von Lebesgue kann man ganz rechts Limes und Integral vertauschen,der Limes unter dem Integral ist=0.
Bin mir aber nicht ganz sicher...
Muss weg,ciao
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 So 08.05.2011 | | Autor: | Fry |
Die Voraussetzungen des Satzes von der majorisierten Konvergenz sind erfüllt,denn:
[mm] |f|^p*1_{\{|f|>n\}} [/mm] besitzt [mm] |f|^p [/mm] als integrierbare Majorante, denn
[mm]\parallel f\parallel ^p<\infty [/mm] nach Voraussetzung, also insbesondere [mm] \int |f|^p\d\mu\infty
[/mm]
Ferner [mm] \lim_{n\to\infty}|f|^p*1_{\{|f|>n\}}=0.
[/mm]
Also [mm] \lim_{n\to\infty}\int|f|^p*1_{\{|f|>n\}}=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 So 08.05.2011 | | Autor: | Fry |
Zum zweiten Teil:
wenn der Ausdruck gegen 0 konvergiert, dann existiert auch für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] t_0, [/mm] so dass [mm] t^p\mu(|f|>t)<\varepsilon [/mm] für alle [mm] t\ge t_0
[/mm]
Kannst ja dann künstlich diesen Term einfügen.
[mm] \int |f|^p d\mu=\alpha\int_{(0,\infty)} t^{a-p-1}t^p\mu(|f|>t)\lambda(dt)
[/mm]
[mm] \le\alpha\int_{(0,t_0)}t^{a-1}\beta [/mm] + [mm] \alpha\varepsilon\int_{(t_0,\infty)}t^{a-p-1}dt
[/mm]
wobei im ersten Term [mm] \mu(|f|>t) [/mm] abgeschätzt wurde (möglich, da [mm] \mu [/mm] endlich,
im zweiten Term obige Abschätzung angewendet.
[mm] \le \beta t^{a}_0-\bruch{a\varepsilon}{a-p}t^{a-p}_0<\infty
[/mm]
Hier ist wichtig, dass [mm] \alpha [/mm] kleiner als p ist
(Die [mm] $\lambda$-Integrale [/mm] stimmen natürlich hier mit den Riemann-Integralen überein)
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mo 09.05.2011 | | Autor: | aly19 |
hey, vielen dank für deine ausführliche antwort, habe alles verstanden und es hat mir sehr geholfen. wäre ich selbst nicht drauf gekommen :)
viele grüße
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