orthonormale familie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 14.12.2004 | | Autor: | chrisHu |
hi!
folgende vektoren gegeben:
1/3 2/3 1
2/3 , -1/3 , 2
2/3 0 -5/2
aufgabe: haben folgende Vektoren eine orthonormale menge? wenn sie nicht orthonormal sind so bilde man eine orthonormale familie.
mein grundproblem ist mal, dass ich die aufgabe nicht richtig verstehe.
hab mir mal gedacht, dass ich mal versuche die ORthonormalbasis des [mm] R^3 [/mm] bilde. hab das ganze nach orthonomierungsverfahren von gram-schmidt versucht.
also:
w1 = (1/||v1||) *v1
wi = (1/||ui||) * ui, i=2.....n
ui = vi - [mm] \summe_{i=1}^{k} [/mm] <vi,wk> wk), i=2......n
hier krieg ich aber für zb: <vi,wk> immer null heraus,somit sage ich mal das es nicht orthonormal ist.
wie komme ich jetzt aber auf die orthonormale familie?
ich hoffe mal, dass ich nicht komplett falsch liege, mit dem ich bis jetzt gemacht hab....
auf jeden fall, mal danke für die hilfe. erklärungen anhand des obigen bsp's würden mir sehr weiterhelften.
danke.
lg chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Di 14.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber ChristHu
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hi!
>
> folgende vektoren gegeben:
>
> 1/3 2/3 1
> 2/3 , -1/3 , 2
> 2/3 0 -5/2
>
> aufgabe: haben folgende Vektoren eine orthonormale menge?
Das verstehe ich auch nicht so ganz. Orthonormal heisst ja, dass die Vektoren erstens eine Länge 1 haben müssen und 2. senkrecht aufeinander stehen.
Ohne geometrische Begriffe bedeutet dies: erstens: das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber muss den Wert 1 haben und zweitens: das Skalarprodukt von zwei paarweise verschiedenen Vektoren muss 0 sein.
Somit bildet der erste der gegebenen Vektoren eine orthonormale Menge. Bitte überprüfe das nochmals mit eurer Definition: orthonormale Menge. Ich bin da etwas unsicher, das habe ich jetzt einfach so interpretiert.
> wenn sie nicht orthonormal sind so bilde man eine
> orthonormale familie.
>
> mein grundproblem ist mal, dass ich die aufgabe nicht
> richtig verstehe.
>
> hab mir mal gedacht, dass ich mal versuche die
> ORthonormalbasis des [mm]R^3[/mm] bilde. hab das ganze nach
> orthonomierungsverfahren von gram-schmidt versucht.
>
> also:
>
> w1 = (1/||v1||) *v1
>
> wi = (1/||ui||) * ui, i=2.....n
>
> ui = vi - [mm]\summe_{i=1}^{k}[/mm] <vi,wk> wk), i=2......n
>
Also hier solltest du die Indizes schon nochmals ganz genau überdenken!
Und dann würde ich das Orthonormalisierungsverfahren einmal geometrisch im 3-dimensionalen euklidischen Raum nachvollziehen (Skizze). Wenn dir das gelingt, solltest du ihn nämlich sogar so begreifen, dass du ihn nie mehr vergisst!
>
> hier krieg ich aber für zb: <vi,wk> immer null heraus,somit
> sage ich mal das es nicht orthonormal ist.
Nein, im Gegenteil: du hast unglaubliches Glück!!!
Das heisst nämlich, dass die Vektoren schon orthogonal sind!
Du brauchst sie also nur noch zu normieren. (Also durch ihren Betrag zu dividieren.)
> wie komme ich jetzt aber auf die orthonormale familie?
>
Ja eben, wie gesagt: normiere die Vektoren einfach in ihrer Länge (multipliziere sie mit dem Kehrwert ihres Betrages, damit sie eine Länge von 1 bekommen). Und schon hast du deine orthonormale Familie.
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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