orthogonales komplement < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie das orthogonale Komplement folgender Menge:
${ f [mm] \in L^{2}(]0,1[) [/mm] | [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0 }$ als Teilmenge des [mm] L^{2}
[/mm]
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ich weiß, dass dazu fuer alle funktionen g aus dem orthogonalen Komplement gelten muss $<g|f>= [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)*g(x) dx} [/mm] = 0$ gelten. weiterhin gilt ja noch der satz des pythagoras.. doch beides hilft mir nicht so recht, die menge des orthogonalen komplements zu charackterisieren.. kann mir da jemand helfen?
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> Bestimmen sie das orthogonale Komplement folgender Menge:
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> [mm]{ f \in L^{2}(]0,1[) | \integral_{0}^{1}{f(x) dx} = 0 }[/mm] als
> Teilmenge des [mm]L^{2}[/mm]
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> ich weiß, dass dazu fuer alle funktionen g aus dem
> orthogonalen Komplement gelten muss [mm]= \integral_{0}^{1}{f(x)*g(x) dx} = 0[/mm]
> gelten. weiterhin gilt ja noch der satz des pythagoras..
> doch beides hilft mir nicht so recht, die menge des
> orthogonalen komplements zu charackterisieren.. kann mir da
> jemand helfen?
Also eines ist sicher: wenn [mm] $\int_0^1 f(x)\;dx=0$ [/mm] ist, dann ist auch [mm] $\int_0^1f(x)\cdot c\; dx=c\cdot \int_0^1f(x)\; [/mm] dx=0$, für alle Konstanten $c$. Das gesuchte orthogonale Komplement enthält also zumindest alle konstanten Funktionen [mm] $g:\; x\mapsto [/mm] c$.
Enthält es vielleicht gar keine anderen Funktionenn als die konstanten Funktionen? Folgt vielleicht aus [mm] $\int_0^1f(x)\cdot g(x)\;dx=0$ [/mm] für alle [mm] $f\in \mathrm{L}^2([0;1])$ [/mm] mit [mm] $\int_0^1 f(x)\; [/mm] dx=0$, dass $g(x)$ fast überall konstant sein muss?
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