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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - orthogonaler Vektor
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orthogonaler Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mi 08.07.2009
Autor: agination

Aufgabe
1) Ergänze den Vektor
[mm] u=\vektor{1 \\ 1\\ 1 } [/mm] zu einer Basis u1,u2,u3 des [mm] \IR [/mm] ³ aus (bzgl. des Standardskalarprodukts) paarweise orthogonalen Vektoren.

2) Zeige, dass es genau eine Matrix U [mm] \in \IR [/mm] gibt, die u1 als Eigenvektor zum Eigenwert 1 und u2, u3 als Eigenvektoren zum Eigenwert -2 besitzt.

3) Gebe die Matrix U aus 2) explizit an.

Habe etwas versucht. Also mein Ansatz wäre verschiedene Vektoren frei zu wählen die bei der skalarmultiplikation miteinander 0 ergeben. Also wären [mm] u2=\vektor{1 \\ 1 \\-2 } u3=\vektor{ 1 \\ 0 \\ -1}. [/mm]

Aber ich bin mir nicht sicher und komme so nicht weiter.

Kann mit jemand helfen?

Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
orthogonaler Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Mi 08.07.2009
Autor: MathePower

Hallo agination,

> 1) Ergänze den Vektor
>  [mm]u=\vektor{1 \\ 1\\ 1 }[/mm] zu einer Basis u1,u2,u3 des [mm]\IR[/mm] ³
> aus (bzgl. des Standardskalarprodukts) paarweise
> orthogonalen Vektoren.
>  
> 2) Zeige, dass es genau eine Matrix U [mm]\in \IR[/mm] gibt, die u1
> als Eigenvektor zum Eigenwert 1 und u2, u3 als
> Eigenvektoren zum Eigenwert -2 besitzt.
>  
> 3) Gebe die Matrix U aus 2) explizit an.
>  Habe etwas versucht. Also mein Ansatz wäre verschiedene
> Vektoren frei zu wählen die bei der skalarmultiplikation
> miteinander 0 ergeben. Also wären [mm]u2=\vektor{1 \\ 1 \\-2 } u3=\vektor{ 1 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
>  
> Aber ich bin mir nicht sicher und komme so nicht weiter.


Die Vektoren [mm]u_{2}, \ u_{3}[/mm] sind jetzt orthogonal  zu [mm]u_{1}=u[/mm].

Jetzt mußt Du noch dafür sorgen,
daß [mm]u_{2}[/mm] und [mm]u_{3}[/mm] auch orthognal sind.


>  
> Kann mit jemand helfen?
>
> Grüße
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß
MathePower

Bezug
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