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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Fr 13.03.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
gegen sind zwei Matrizen A und B mit der Eigenschaft: [mm] $Bild(A)^{\bot}\subset Bild(B)^{\bot}$. [/mm] Gilt dann [mm] $Bild(A)\supset [/mm] Bild(B)$? Und falls ja, weiß jemand ein Buch/Paper wo ich den Beweis finden kann bzw. wie man das beweist?
Gruß, zetamy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Also wie wäre es so:
Wir wissen: für jeden Untervektorraum [mm] $U\subset [/mm] V$ gilt [mm] $U\oplus U^\perp=V$.
[/mm]
Damit zeigen wir nun für UVR [mm] $U,W\subset [/mm] V$: [mm] $U\subset W\Rightarrow W^\perp\subset U^\perp$.
[/mm]
Beweis: Sei o.B.d.A. [mm] $0\ne x\in W^\perp$. [/mm] Wegen obigem ist also [mm] $x\not\in [/mm] W$, also nach Voraussetzung [mm] $x\not\in [/mm] U$ und damit [mm] $x\in U^\perp$ [/mm] - q.e.d.
Damit folgt die gesuchte Behauptung aus der Tatsache, dass [mm] $(U^\perp)^\perp=U$ [/mm] ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Fr 13.03.2009 | | Autor: | zetamy |
Super! Vielen Dank. Damit hat sich ein zweiseitiger Beweis erklärt. 
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