orthogonale Vektoren zu Vektor < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:39 So 07.03.2010 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Berechne die Menge aller Vektoren, die zu [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] orthogonal sind. |
Moin,
ich weiß, das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist null.
[mm] \vec{x}*\vec{a} [/mm] = 0
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}*\vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] = 0
[mm] x_1 -2x_2 +3x_3 [/mm] = 0
Meine Idee war: eine Komponente null zu setzen und dann Vektoren zu erhalten mit "gegensätzlichen" übrigen Komponenten... bspw.
[mm] \vektor{0 \\ y \\ z} [/mm] -> [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 2} [/mm]
[mm] \vektor{x \\ 0 \\ z } [/mm] -> [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ 0} [/mm] -> [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Interessanterweise sind darunter zwei Richtungsvektoren der aufgestellten Ebene (s.u.) !?
Dies ist aber nicht eindeutig, oder?
***
In der Musterlösung steht
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Gut, darauf komme ich, wenn ich die Gleichung [mm] x_1 -2x_2 +3x_3 [/mm] = 0 in die Parameterform umwandle...
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 2x_2 -3x_3
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + 0
[mm] x_3 [/mm] = 0 + [mm] x_3
[/mm]
=> [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Hmm. Da frage ich mich allerdings, wo hierbei der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 2} [/mm] berücksichtigt ist?
Wie kann ich die gesuchte Menge aller Vektoren beschreiben?
Wie ist das theoretisch? Ist die Menge aller Vektoren tatsächlich eine Ebene? Falls ja, warum viele Ebenen? oder ganz was anderes?
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 So 07.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechne die Menge aller Vektoren, die zu [mm]\vec{a}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm] orthogonal sind.
> Moin,
>
> ich weiß, das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist
> null.
>
> [mm]\vec{x}*\vec{a}[/mm] = 0
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm] = 0
>
> [mm]x_1 -2x_2 +3x_3[/mm] = 0
>
>
> Meine Idee war: eine Komponente null zu setzen und dann
> Vektoren zu erhalten mit "gegensätzlichen" übrigen
> Komponenten... bspw.
>
> [mm]\vektor{0 \\ y \\ z}[/mm] -> [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ 0 \\ z }[/mm] -> [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ 0}[/mm] -> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Interessanterweise sind darunter zwei Richtungsvektoren der
> aufgestellten Ebene (s.u.) !?
Zwei????
ALLE in dieser Ebene verlaufenden Vektoren stehen senkrecht zum gegebenen Vektor.
>
> Dies ist aber nicht eindeutig, oder?
Richtig, die Richtungsvektoren einer Ebene kann man sehr frei wählen.
>
>
> ***
>
> In der Musterlösung steht
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Das sind alle Linearkombinationen der beiden (zufällig vom Aufgabensteller mehr oder weniger willkürlich gewählten) Richtungsvektoren.
>
>
> Gut, darauf komme ich, wenn ich die Gleichung [mm]x_1 -2x_2 +3x_3[/mm]
> = 0 in die Parameterform umwandle...
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]2x_2 -3x_3[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]x_2[/mm] + 0
>
> [mm]x_3[/mm] = 0 + [mm]x_3[/mm]
>
> => [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Hmm. Da frage ich mich allerdings, wo hierbei der Vektor
> [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 2}[/mm] berücksichtigt ist?
Vektoren besitzen unendlich viele Pfeile als Repräsentatoren. Ich kann also Pfeile wählen, die vom Ursprung ausgehen (und muss nicht erst mit einem Stützvektor "in die Ebene hineingehen", um von dort einen Richtunsvektor anzusetzen).
Gruß Abakus
>
>
> Wie kann ich die gesuchte Menge aller Vektoren
> beschreiben?
>
>
> Wie ist das theoretisch? Ist die Menge aller Vektoren
> tatsächlich eine Ebene? Falls ja, warum viele Ebenen? oder
> ganz was anderes?
>
>
> Danke & Gruß
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 07.03.2010 | | Autor: | hase-hh |
> > In der Musterlösung steht
> >
> > [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> Das sind alle Linearkombinationen der beiden (zufällig vom
> Aufgabensteller mehr oder weniger willkürlich gewählten)
> Richtungsvektoren.
... und da [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 2} [/mm] eine Linearkombination [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm] ist, ist dieser Vektor in der Ebene enthalten bzw. berücksichtigt... ?
Könnte man sagen, dass der [mm] \vec{a} [/mm] quasi ein Normalenvektor zu einer Ebene ist, welche alle Vektoren enthält, die senkrecht zu [mm] \vec{a} [/mm] sind?
Könnte man sagen, dass diese Ebene alle Ebenen repräsentiert, die ich durch den [mm] \vec{a} [/mm] legen kann (mit dem [mm] \vec{a} [/mm] schneiden kann) ?
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> > > In der Musterlösung steht
> > >
> > > [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> > Das sind alle Linearkombinationen der beiden (zufällig vom
> > Aufgabensteller mehr oder weniger willkürlich gewählten)
> > Richtungsvektoren.
>
> ... und da [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 2}[/mm] eine Linearkombination
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm] ist, ist
> dieser Vektor in der Ebene enthalten bzw.
> berücksichtigt... ?
Genau so ist es. Die Schreibweise [mm]r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} + s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm] steht ja eigentlich für [mm]\left\{r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} + s*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}\:\Bigg|\:r,s\in\IR \right\}[/mm] und da ist auch der Vektor [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 2}[/mm] enthalten.
>
>
> Könnte man sagen, dass der [mm]\vec{a}[/mm] quasi ein
> Normalenvektor zu einer Ebene ist, welche alle Vektoren
> enthält, die senkrecht zu [mm]\vec{a}[/mm] sind?
Klar. Das kann man so interpretieren.
>
> Könnte man sagen, dass diese Ebene alle Ebenen
> repräsentiert, die ich durch den [mm]\vec{a}[/mm] legen kann (mit
> dem [mm]\vec{a}[/mm] schneiden kann) ?
Das geht nicht. Erstens weiß ich nicht, ob es formal richtig ist, dass Vektoren Ebenen schneiden. Eigentlich können Schnittpunkte nur zwischen Graden und Ebenen entstehen. Also nehmen wir mal an, dass du lineare Unabhängigkeit zwischen den Richtungsvektoren der Ebene und [mm]\vec{a}[/mm] meinst. Aber auch das gilt nicht, da du Vektoren suchst, die sekrecht zu [mm]\vec{a}[/mm] stehen.
Mit anderen Worten, die Menge dieser Ebenen ist um ein vielfaches größer.
Außerdem gibt es genau eine Ebene die senkrecht zu [mm]\vec{a}[/mm] steht. (Jedenfalls im 3-dimensionalen Fall. In mehrdimensionalen Räumen gibt es genau ein Hyperebene mit dieser Eigenschaft.)
Gruß
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 07.03.2010 | | Autor: | hase-hh |
moin tobias, moin zusammen!
> > Könnte man sagen, dass diese Ebene alle Ebenen
> > repräsentiert, die ich durch den [mm]\vec{a}[/mm] legen kann (mit
> > dem [mm]\vec{a}[/mm] schneiden kann) ?
>
> Das geht nicht. Erstens weiß ich nicht, ob es formal
> richtig ist, dass Vektoren Ebenen schneiden. Eigentlich
> können Schnittpunkte nur zwischen Graden und Ebenen
> entstehen. Also nehmen wir mal an, dass du lineare
> Unabhängigkeit zwischen den Richtungsvektoren der Ebene
> und [mm]\vec{a}[/mm] meinst. Aber auch das gilt nicht, da du
> Vektoren suchst, die sekrecht zu [mm]\vec{a}[/mm] stehen.
> Mit anderen Worten, die Menge dieser Ebenen ist um ein
> vielfaches größer.
> Außerdem gibt es genau eine Ebene die senkrecht zu [mm]\vec{a}[/mm]
> steht. (Jedenfalls im 3-dimensionalen Fall. In
> mehrdimensionalen Räumen gibt es genau ein Hyperebene mit
> dieser Eigenschaft.)
>
> Gruß
> Tobias
>
Also gibt es nur eine Ebene und die würde den
[mm] \vec{a} [/mm] in der Spitze berühren bzw. anders ausgedrückt den Punkt A berühren... ?
Kann es sein, dass man dadurch irregeführt wird, dass man einen Punkt für einen Pfeil (eine Strecke) hält... und man hat in Wahrheit nur einen "gerichteten" Punkt...
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> moin tobias, moin zusammen!
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> Also gibt es nur eine Ebene und die würde den
> [mm]\vec{a}[/mm] in der Spitze berühren bzw. anders ausgedrückt
> den Punkt A berühren... ?
Ich glaube, du machst den Fehler und identifizierst den Vektor [mm] \vec{a}[/mm] mit dem Punkt, der eben diese Koordinaten besitzt. Das sind aber völlig verschiedene Sachen. Stell dir den Vektor als Pfeil vor, den du überall hin verschieben kannst. Dabei muss nur die Richtung und die Länge gleich bleiben. Der Punkt aber bleibt an der selben Stelle.
Der Vektor [mm] \vec{a}[/mm] zeigt nur auf den Punkt [mm] A[/mm], wenn man den Vektor vom Nullpunkt losgehen lässt.
Es gibt nur eine Ebene (bis auf affine Verschiebung), die orthogonal zum Vektor [mm] \vec a[/mm] ist.
>
>
> Kann es sein, dass man dadurch irregeführt wird, dass man
> einen Punkt für einen Pfeil (eine Strecke) hält... und
> man hat in Wahrheit nur einen "gerichteten" Punkt...
Ahh, ich glaube auch hier liegt der gleiche Fehler wie oben vor.
Gruß
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 11.03.2010 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
naja, mein Problem ist, dass ich nicht verstehe warum es nur eine einzige Ebene gibt die orthogonal zu dem Vektor [mm] \vec{a} [/mm] ist.
Wenn ich mir den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] als Pfeil vom Nullpunkt aus zeichne, dann kann ich doch gewissermaßen scheibchenweise viele Ebenen entlang des Pfeiles legen, die alle orthogonal zu [mm] \vec{a} [/mm] liegen. Wieso gibt es dann nur genau eine Ebene???
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Do 11.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eine Ebene in Normalenform hat ja auch einen "Stützpunkt" Q, an dem du den Normalenvektor ansetzt.
Du hast ja die Form:
[mm] E:\left[\vec{x}-\vec{q}\right]*\vec{n}=0
[/mm]
Graphisch gesehen bestimmst du mit [mm] \vec{x}-\vec{q} [/mm] quasi den "Verbindungsvektor" [mm] \overrightarrow{QX} [/mm] der in der Ebene liegt, falls der Punkt X in E liegt.
Marius
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> naja, mein Problem ist, dass ich nicht verstehe warum es
> nur eine einzige Ebene gibt die orthogonal zu dem Vektor
> [mm]\vec{a}[/mm] ist.
Hallo,
es ist ja richtig, daß der Vektor $ [mm] \vec{a} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] $ auf vielen verschiedenen Ebenen senkrecht steht.
Er ist Normalenvektor von vielen verschiedenen, parallelen Ebenen, nämlich von denen, die man in Parameterform schreiben kann als
[mm] E_A:\qquad [/mm] $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = [mm] \vektor{a_1\\a_2\\a_3}$ r\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] s\cdot{}\vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
bzw. in Nomalenform als 1*x -2*y+3*z=d.
[mm] "\vec{a} [/mm] ist orthogonal zur Ebene [mm] E_A" [/mm] bedeutet, daß [mm] \vec{a} [/mm] senkrecht ist zu jedem Vektor, der parallel zur Ebene ist, also zu jedem vektor, den man als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren schreiben kann.
So, nun kommt's. Wir nehmen jetzt mal die Ebene E: [mm] \qquad \vec{x}=\vektor{4\\5\\6}+$ r\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] s\cdot{}\vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm] $.
[mm] \vec{a} [/mm] ist Normalenvektor dieser Ebene, denn s.o.
Aber keinesfalls ist [mm] \vec{a} [/mm] senkrecht zu jedem Vektor der Ebene! In E liegt beispielsweise der Vektor [mm] \vektor{4\\5\\6}$ +\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 1} $=\vektor{3\\6\\7}.
[/mm]
Es ist jedoch [mm] \vec{a}*\vektor{3\\6\\7}=$ \vektor{1 \\ -2 \\ 3} $*\vektor{3\\6\\7}=12, [/mm] also sind die beiden nicht orthogonal.
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Du hattest eingangs ausgerechnet, daß alle Vektoren, die man schreiben kann als $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] r\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] s\cdot{}\vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
orthogonal zu [mm] \vec{a} [/mm] sind.
Und dies sind genau die Vektoren der zu [mm] \vec{a} [/mm] senkrechten Ebene durch den Nullpunkt.
Gruß v. Angela
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