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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 So 29.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | 1) Bestimmen sie das Bild y unter der orthogonalen Projektion von x auf U.
2) den Abstand von x zu U
3) die Matrix [mm] M^{E,E}_P1 [/mm] die zur orthogonalen Projektion P1 : V [mm] \to [/mm] V gehört, wobei E die kanonische Basis von V bezeichnet.
4) die Matrix [mm] M^{E',E}_P2 [/mm] zur orthogonalen Projektion P2 : V [mm] \to [/mm] U wobei E = ONB von U ist.
V = [mm] \IR^4 [/mm] U = [mm] \left \{s \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0} + t \cdot \vektor{1 \\ \frac{3}{2} \\ 2 \\ 0} : s,t \in \IR \right \} [/mm] x = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2} [/mm] |
Hallo,
ich komm mal wieder nicht so recht vorran.
Bei der 1) habe ich das so verstanden, dass ich den Punkt einfach nur senkrecht auf die Ebene abbilden muss, da ist aber das Problem, dass es der [mm] \IR^4 [/mm] ist und ich nicht einfach den Vektor, der auf beiden senkrecht steht (Kreuzprodukt) ausrechnen kann.
Dann habe ich es auf versucht, jeweils eine senkrechte Gerade gefundne und zusammen mit x eine Ebene gebaut und wollte die 2 Ebenen dann schneiden. Aber das klappt nicht so recht :/
Gibt es da irgendeine Formel mit der sich das Problem besser ausrechnen lässt?
Bei der 3) hab ich das so verstanden, dass ich die Projektion P von [mm] e_1, e_2, e_3, 3_4 [/mm] (kanonische Basis) bilden muss und damit dann Spaltenweise eine Matrix aufbauen. Aber ohne die AUfgab 1) komm ich da nicht weit.
Bitte um Hilfe
Phil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Skalarprodukt [mm] <\vec{v} [/mm] . [mm] \vec{w}>/|w|^2 [/mm] * [mm] \vec{w} [/mm] gibt dir die Projektion von v auf w. du projizierst auf die 2 Vektoren der Ebene und nimmst davon die Linearkombination .
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 29.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
also v = x und w = [mm] \vektor{s + t \\ \frac{3}{2} t \\ -2 +2t \\ 0 } [/mm] ?
Meinst du mit \ [mm] |w|^2 [/mm] geteilt durch oder [mm] \frac{1}{|w|^2}?
[/mm]
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich hatte ich die allgemeine Formel geschrieben, sie sollte nacheinander auf die 2 Vektoren (oder mehr) die U bilden angewandt werden.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 29.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
das habe ich schon verstanden, ich versteh nur das / in der Formel nicht, kann es sein dass das nciht da hin gehört.
Bzw. fragen wir mal anderst, ist das dir korrekte Formel:
<v,w> [mm] \cdot |w|^2 \cdot [/mm] w
wobei [mm] |w|^2 [/mm] die Länge des vektors ist?
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, <v,w>/|w| gibt die komponente von v in w Richtung, das muss mit dem einheitsvektor w/|w| multipliziert werden um den projiziderten Vektor zu haben. wenn du als w gleich nen einheitsvektor in w richtung nimmst hast du [mm] *e_w
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 So 29.01.2012 | | Autor: | s3bbe |
Hallo,
ich habe eine weitere Frage zu diesem Problem.
Wie findet man denn eine Orthonormalbasis zu von diesem U? Kann man gleich vorgehen, wie wenn U als Menge von Vektoren angegeben wird (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren)? Also das Verfahren auf die zwei Vektoren die mit s und t Multipliziert werden anwenden?
Wenn ja, muss man dann noch zwei weitere Vektoren für die Basis finden, weil V = [mm] \IR^{4} [/mm] ist?
Ich habe folgendes ausgerechnet:
[mm] \{s*\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}+t*\vektor{\bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ 0} : s,t \in \IR \}
[/mm]
Wäre das also eine ONB von U?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Mo 30.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du nur ne Basis von U willst sind das die zwei vektoren, man schreibt si aaber als basis als menge von 2 vektoren nicht als linearkombination. nur wenn du die basis zu einer von v erweitern musst musst du 2 weiter zu den gegebenen orthogonale finden.
gruss leduart
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