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| Aufgabe | 1) Die Vektoren [mm] \vec{x}, \vec{y} \in R^n [/mm] seien linear unabhängig. Zeigen Sie, dass dann ein Vektor [mm] \vec{u} \in R^n [/mm] und ein r [mm] \in [/mm] R existieren mit
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] r*\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{u}, \vec{u} \perp \vec{x}, \vec{u} \not= \vec{0}. [/mm] |
Hallo,
wie kann man denn hier beginnen? Habe so gar keine Idee... kann mir jemand einen Tipp geben? Könnte man indirekt vorgehen? Auch nicht so gut, oder?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Mache doch den folgenden Ansatz:
u= y-rx.
Dann schauen wir mal was rauskommt:
Da x und y linear unabhängig sind, ist u ungleich 0.
Da u auf x senkrecht stehen soll, erhalten wir
0 = u.x = (y-rx).x = y.x-r(x.x).
(der Punkt zwische 2 Vektoren bedeutet Skalarprodukt)
x ist ungleich 0, da x und y linear unabhängig sind, also erhalten wir
r = (y.x)/(x.x)
Bisher wars nur zur Orientierung.
Setzt Du also r = (y.x)/(x.x) und u= y-rx, so kannst Du leicht nachrechnen,
dass r und u die gewünschten Eigenschaften haben.
FRED
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Hallo,
danke, soweit habe ich`s jetzt verstanden. Aber wir haben doch jetzt immer schon das verwendet, was wir eigentlich zeigen wollten. Für den Ausdruck, den wir jetzt mit dem r haben, haben wir doch die Orthogonalität von u und x verwendet und für den Audruck mit u die Gleichung, die wir zeigen sollen.
Ist es nicht jetzt schon fertig, da wir wissen, wie solche ein u oder ein r aussehen müsste? Was mache ich denn sonst jetzt?
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du kannst Deinen Beweis so beginnen
Setze r = (y.x)/(x.x) und u= y-rx.
Begründe dann, dass x.x und u ungleich Null sind
und weise nach, dass r und u die gewünschten Eigenschaften haben.
fred
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