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orth. Trajektorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Do 04.06.2009
Autor: Martinius

Aufgabe
Find the orthogonal trajectories of [mm] $r=c\;cos(\Phi)$ [/mm] and graph.


Hallo,

ich bin mir jetzt nicht sicher, wie

[mm] $\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}$ [/mm]

anzuwenden ist.

[mm] $r\;=\;c*cos(\Phi)$ [/mm]    ;    [mm] $c\;=\;\frac{r}{cos(\Phi)}$ [/mm]

[mm] $\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;c*sin(\Phi)=F(r,\Phi)$ [/mm]

[mm] $\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}=\;-\;\frac{(c*cos(\Phi))^2}{-c*sin(\Phi)}=\;r*tan(\Phi)$ [/mm]

[mm] $\int \frac{1}{r}\;dr [/mm] = [mm] \int tan(\Phi) \;d\Phi$ [/mm]

[mm] $ln|r|=ln|sec(\Phi)|+C'$ [/mm]

[mm] $r=C*sec(\Phi)$ [/mm]

stimmt laut Lösung nicht. Die Lösung im Buch ist:

[mm] $r=D*sin(\Phi)$ [/mm]

Habe ich mich verrechnet oder liegt ein Druckfehler vor?

LG, Martinius


        
Bezug
orth. Trajektorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Do 04.06.2009
Autor: MathePower

Hallo Martinius,

> Find the orthogonal trajectories of [mm]r=c\;cos(\Phi)[/mm] and
> graph.
>  
>
> Hallo,
>  
> ich bin mir jetzt nicht sicher, wie
>  
> [mm]\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}[/mm]
>  
> anzuwenden ist.
>  
> [mm]r\;=\;c*cos(\Phi)[/mm]    ;    [mm]c\;=\;\frac{r}{cos(\Phi)}[/mm]
>  
> [mm]\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;c*sin(\Phi)=F(r,\Phi)[/mm]
>  
> [mm]\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}=\;-\;\frac{(c*cos(\Phi))^2}{-c*sin(\Phi)}=\;r*tan(\Phi)[/mm]


Hier ist der Fehler passiert.


>  
> [mm]\int \frac{1}{r}\;dr = \int tan(\Phi) \;d\Phi[/mm]
>  
> [mm]ln|r|=ln|sec(\Phi)|+C'[/mm]


Übrigens, die Stammfunktion von [mm]\tan\left(\Phi\right)[/mm] ist [mm]\ln\vmat{\cos\left(\Phi\right)}+C[/mm]


>  
> [mm]r=C*sec(\Phi)[/mm]
>  
> stimmt laut Lösung nicht. Die Lösung im Buch ist:
>  
> [mm]r=D*sin(\Phi)[/mm]
>  
> Habe ich mich verrechnet oder liegt ein Druckfehler vor?


Da hast Du Dich verrechnet:

[mm]-\;\frac{(c*cos(\Phi))^2}{-c*sin(\Phi)}=c*\bruch{\cos^{2}\left(\Phi\right)}{sin\left(\Phi\right)}=\bruch{r}{\cos\left(\Phi\right)}*\bruch{\cos^{2}\left(\Phi\right)}{sin\left(\Phi\right)}=r*\bruch{\cos\left(\Phi\right)}{sin\left(\Phi\right)}=r*\red{\cot}\left(\Phi\right)[/mm]


>  
> LG, Martinius
>  


Gruß
MathePower

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