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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Sa 28.06.2014 | | Autor: | knowhow |
hallo,
kann mir jemand erklären warum man ||x||=1 betrachtet bzw [mm] ||x||\le [/mm] 1
[mm] ||A||=\underbrace{sup}_{||x||\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||}=
[/mm]
[mm] \underbrace{sup}_{||x||=1}||Ax||=\underbrace{sup}_{||x||\le 1}
[/mm]
bin für jede hilfe dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 So 29.06.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> kann mir jemand erklären warum man ||x||=1 betrachtet bzw
> [mm]||x||\le[/mm] 1
>
> [mm]||A||=\underbrace{sup}_{||x||\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||}=[/mm]
>
> [mm]\underbrace{sup}_{||x||=1}||Ax||=\underbrace{sup}_{||x||\le 1}[/mm]
>
> bin für jede hilfe dankbar
was genau willst du wissen? Warum die drei verschiedenen Definitionen gleich sind? Oder warum man es überhaupt so definiert?
LG Felix
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Hi,
ich zeige dir mal, warum
[mm] \sup_{\Vert x\Vert\not=0}\frac{\Vert A\Vert}{\Vert x\Vert}=\sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert
[/mm]
gilt.
Bedenke, dass [mm] \Vert{x}\Vert\in\IR [/mm] ist und auch größer Null für [mm] x\not=0.
[/mm]
[mm] \sup_{\Vert x\Vert\not=0}\frac{\Vert A\Vert}{\Vert x\Vert}=\sup_{\Vert x\Vert\not=0}\Vert{}A\frac{x}{\Vert x\Vert}\Vert=\sup_{\Vert{y}\Vert=1}\Vert{}Ay\Vert
[/mm]
Denn [mm] \frac{x}{\Vert{x}\Vert} [/mm] ist ja gerade die Normierung von x auf Einheitslänge.
Die anderen Äquivalenzen gehen ähnlich.
Zeige also noch:
[mm] \sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert=\sup_{\Vert x\Vert\le1}\Vert Ax\Vert
[/mm]
Zeige dazu am besten zunächst [mm] \ge [/mm] und [mm] \le. [/mm] Dann folgt Gleichheit.
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