offene, abgeschlossene Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Di 04.09.2012 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | | [mm] D^{0} \bigcup \partial [/mm] D = [mm] \overline{D} \Rightarrow \not\Rightarrow \Leftarrow \not\Leftarrow D^{0} [/mm] = D |
ich weiss, das D offen ist wenn [mm] D^{0}=D [/mm] gilt. D ist abgeschlossen wenn [mm] \IR\D [/mm] offen ist und
D [mm] \bigcup \partial [/mm] D = [mm] \overline{D} [/mm] ist der Abschluss von D.
wenn jetzt D offen ist, kann ich daraus die folgern Seite und von der linken die rechte Seite?
welche Folgepfeile sind hier richtig? ich kann mein Wissen nicht hier nicht anwenden :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:17 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo melodie,
mir ist's gerade leider zu spät, aber eine Bitte:
Lass' die Überschrift bitte genau so da stehen. Ich liebe diesen Verschreiber,
den hat mein Prof. auch im Skript:
"Abgeschossene Menge" (*peng* *peng*)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo melodie,
(leider hat Schachuzipus die schönere Überschrift zerstört!)
> [mm]D^{0} \bigcup \partial[/mm] D = [mm]\overline{D} \Rightarrow \not\Rightarrow \Leftarrow \not\Leftarrow D^{0}[/mm]
> = D
>
> ich weiss, das D offen ist wenn [mm]D^{0}=D[/mm] gilt. D ist
> abgeschlossen wenn [mm]\IR\D[/mm] offen ist und
schreibe [mm] $\IR \setminus [/mm] D$ [mm] ([nomm]$\IR \setminus [/mm] D$[/nomm]). Ansonsten
sieht man nicht, was Du meinst. Also okay: Ich nehme mal an, dass ihr hier
nur den [mm] $\IR$ [/mm] mit der Topologie, die wie folgt induziert wird, betrachtet:
- der Betrag [mm] $|.|\,$ [/mm] induziert eine Metrik auf [mm] $\IR\,,$ [/mm] diese heiße [mm] $d_{|.|}$
[/mm]
[mm] ($(\IR,|.|)\,$ [/mm] ist ein normierter Raum!)
- die Metrik [mm] $d_{|.|}$ [/mm] induziert eine Topologie auf [mm] $\IR$
[/mm]
Und die Elemente der letztgenannten Topologie nennt man dann kurz die
offenen Teilmengen von [mm] $\IR\,.$
[/mm]
> D [mm]\bigcup \partial[/mm] D = [mm]\overline{D}[/mm] ist der Abschluss von
> D.
>
> wenn jetzt D offen ist, kann ich daraus die folgern Seite
> und von der linken die rechte Seite?
>
> welche Folgepfeile sind hier richtig? ich kann mein Wissen
> nicht hier nicht anwenden :/
Nunja: [mm] $D^o \cup \partial D=\overline{D}$ [/mm] gilt doch immer, [mm] $D=D^o$ [/mm]
jedoch nicht immer. Also kann
[mm] $D^o \cup \partial D=\overline{D} \Rightarrow D=D^o$
[/mm]
nicht richtig sein.
Beispiel: Betrachte [mm] $D=(a,b]\,$ [/mm] mit reellen Zahlen $a < [mm] b\,.$ [/mm] Hier ist
[mm] $D^o=(a,b)\,,$ $\partial D=\{a,b\}\,,$ $\overline{D}=[a,b]\,.$
[/mm]
Und weil die Aussage [mm] $\overline{D}=D^o \cup \partial [/mm] D$ immer gilt, kann
natürlich die Folgerung [mm] $D=D^o \Rightarrow \overline{D}=D^o \cup \partial [/mm] D$
nur richtig sein.
(Bedenke: $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ wird aussagenlogisch charakterisiert durch
[mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \text{ oder }B\,.$ [/mm] Und [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B$ ist insbesondere
sicher immer wahr, wenn [mm] $B\,,$ [/mm] d.h. wenn Aussage [mm] $B\,$ [/mm] wahr ist.)
Gruß,
Marcel
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Hey Marcel,
> Hallo melodie,
>
> (leider hat Schachuzipus die schönere Überschrift
> zerstört!)
Was heißt hier "leider"?
Ich hatte nur deinen Seelenfrieden im Kopf 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hey Marcel,
>
>
> > Hallo melodie,
> >
> > (leider hat Schachuzipus die schönere Überschrift
> > zerstört!)
>
> Was heißt hier "leider"?
>
> Ich hatte nur deinen Seelenfrieden im Kopf
das war nicht ironisch gemeint: Ich liebe diesen Verschreiber wirklich!
(Und bin immer noch begeistert, dass mein Diplom-Vater in nicht in seinem
Skript entdeckt hat. Oder er läßt ihn auch extra drin!)
Gruß,
Marcel
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