offene / abgeschl. Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Di 19.05.2009 | | Autor: | marc1601 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie (jeweils mit genauer Begründung) die folgenden Mengen [mm] M \subseteq X [/mm] auf Offenheit und Abgeschlossenheit bezüglich der gegebenen Metrik [mm]d[/mm]:
(1) [mm]X=\mathbb{R}^{n}[/mm] mit [mm]d(x,y)=\parallel x-y\parallel_{\infty} [/mm] und [mm] M = \{ x \in \mathbb{R}^{n}: 1 \leq x_i^2 \leq 4 [/mm] und [mm]\parallel x\parallel_1 \geq 2 \} [/mm]
(2) [mm] X=[0,1][/mm] mit [mm] d(x,y) = |x-y| [/mm] und [mm] M= \{(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},1] \} [/mm] |
Guten Abend,
zunächst einmal vielleicht erklärende Worte zur Notation: Wir haben [mm] \parallel \cdot \parallel_{\infty}[/mm] als Maximumsnorm definiert, also [mm] \parallel x \parallel_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|[/mm] und [mm] \parallel \cdot \parallel_{1}[/mm] als Einsnorm bzw. Summennorm, d.h. [mm] \parallel x \parallel_{1} = \sum_{i=1}^n |x_i|[/mm].
Jetzt zu den Aufgaben. Zu (1) hab ich mir überlegt, dass [mm] M [/mm] abgeschlossen ist, weil ich [mm] M [/mm] als Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen auffassen kann, nämlich: [mm] M_1 = \{ x \in \mathbb{R}^{n}: 1 \leq x_i^2 \leq 4 \} [/mm] und [mm] M_2 = \{ x \in \mathbb{R}^{n}: \parallel x\parallel_1 \geq 2 \} [/mm]. Diese Mengen sind abgeschlossen, weil Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen wieder abgeschlossen sind. Setzt man [mm] $f_{1_i} (x)=x_i$ [/mm] und [mm] $f_2(x)= \sum_{i=1}^n |x_i|$, [/mm] so gilt [mm] $M_1 [/mm] = [mm] f^{-1}_{1_i} [/mm] ([1,2])$ und [mm] $M_2=f^{-1}_2([2,\infty))$.
[/mm]
Mir geht es vor allem um die Funktionen. Passen die soweit?
Ich soll $M$ ja auch auf Offenheit prüfen. Reicht es, wenn ich mit den schwachen Ungleichungen argumentiere oder soll ich tatsächlich zeigen, dass es ein $x [mm] \in [/mm] M$ gibt, zu denen kein [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ existiert, sodass die offene Kugel mit Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] noch ganz in $M$ liegt. (Auf dem Rand würde man da ja bestimmt fündig werden.)
Zu (2) Hier kann man doch die Abgeschlossenheit ziemlich schnell widerlegen. Wenn $M$ abgeschlossen wäre, müsste ja auch jede Folge in $M$ einen Grenzwert in $M$ besitzen. Ein Gegenbeispiel wäre hier doch die Folge [mm] $(\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n})_{n\in \mathbb{N}}$, [/mm] oder?
Bei der Offenheit bin ich mir nicht ganz sicher: Also am linken Rand, sowie um das [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] herum hat man doch eigentlich keine Probleme bezüglich der Offenheit. Einzig problematisch könnte die rechte Grenze 1 werden. Aber $X$ "hört doch hinter 1 quasi auf" (entschuldigt die etwas flappsige Formulierung), sodass ich doch hier auch kein Problem mit meinem [mm] $\epsilon$-Ball [/mm] haben dürfte, oder?
Herzlichen Danke schon mal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:18 Mi 20.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Marc
> Untersuchen Sie (jeweils mit genauer Begründung) die
> folgenden Mengen [mm]M \subseteq X[/mm] auf Offenheit und
> Abgeschlossenheit bezüglich der gegebenen Metrik [mm]d[/mm]:
>
> (1) [mm]X=\mathbb{R}^{n}[/mm] mit [mm]d(x,y)=\parallel x-y\parallel_{\infty}[/mm]
> und [mm]M = \{ x \in \mathbb{R}^{n}: 1 \leq x_i^2 \leq 4[/mm] und
> [mm]\parallel x\parallel_1 \geq 2 \}[/mm]
>
> (2) [mm]X=[0,1][/mm] mit [mm]d(x,y) = |x-y|[/mm] und [mm]M= \{(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},1] \}[/mm]
Die Mengenklammern sollten beim zweiten $M$ weg, oder?
>
> Guten Abend,
>
> zunächst einmal vielleicht erklärende Worte zur Notation:
> Wir haben [mm]\parallel \cdot \parallel_{\infty}[/mm] als
> Maximumsnorm definiert, also [mm]\parallel x \parallel_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|[/mm]
> und [mm]\parallel \cdot \parallel_{1}[/mm] als Einsnorm bzw.
> Summennorm, d.h. [mm]\parallel x \parallel_{1} = \sum_{i=1}^n |x_i|[/mm].
>
> Jetzt zu den Aufgaben. Zu (1) hab ich mir überlegt, dass [mm]M[/mm]
> abgeschlossen ist, weil ich [mm]M[/mm] als Durchschnitt zweier
> abgeschlossener Mengen auffassen kann, nämlich: [mm]M_1 = \{ x \in \mathbb{R}^{n}: 1 \leq x_i^2 \leq 4 \}[/mm]
> und [mm]M_2 = \{ x \in \mathbb{R}^{n}: \parallel x\parallel_1 \geq 2 \} [/mm].
> Diese Mengen sind abgeschlossen, weil Urbilder
> abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen wieder
> abgeschlossen sind. Setzt man [mm]f_{1_i} (x)=x_i[/mm] und [mm]f_2(x)= \sum_{i=1}^n |x_i|[/mm],
> so gilt [mm]M_1 = f^{-1}_{1_i} ([1,2])[/mm] und
Vorsicht! Es gilt [mm] $M_1 [/mm] = [mm] f^{-1}_{1_i}([1, [/mm] 2] [mm] \cup [/mm] [-2, -1])$. Alternativ kannst du [mm] $f_{1_i}$ [/mm] definieren durch $x [mm] \mapsto x_i^2$, [/mm] und dann [mm] $f^{-1}_{i_1}([1, [/mm] 4])$ betrachten.
> [mm]M_2=f^{-1}_2([2,\infty))[/mm].
> Mir geht es vor allem um die Funktionen. Passen die
> soweit?
Ja. Allerdings solltest du auch zeigen, dass die Funktionen wirklich stetig sind.
> Ich soll [mm]M[/mm] ja auch auf Offenheit prüfen. Reicht es, wenn
> ich mit den schwachen Ungleichungen argumentiere oder soll
> ich tatsächlich zeigen, dass es ein [mm]x \in M[/mm] gibt, zu denen
> kein [mm]\varepsilon >0[/mm] existiert, sodass die offene Kugel mit
> Radius [mm]\varepsilon[/mm] noch ganz in [mm]M[/mm] liegt. (Auf dem Rand
> würde man da ja bestimmt fündig werden.)
Ja, das reicht, und da wirst du fuendig. Gib einfach eine Folge von Elementen aus dem Komplement von $M$ an, die gegen einen Punkt aus $M$ konvergiert.
> Zu (2) Hier kann man doch die Abgeschlossenheit ziemlich
> schnell widerlegen. Wenn [mm]M[/mm] abgeschlossen wäre, müsste ja
> auch jede Folge in [mm]M[/mm] einen Grenzwert in [mm]M[/mm] besitzen. Ein
> Gegenbeispiel wäre hier doch die Folge [mm](\frac{1}{2} + \frac{1}{2n})_{n\in \mathbb{N}}[/mm],
> oder?
Ja. Oder du nimmst einfach [mm] $(\frac{1}{2 n + 1})_{n \in \IN}$.
[/mm]
> Bei der Offenheit bin ich mir nicht ganz sicher: Also am
> linken Rand, sowie um das [mm]\frac{1}{2}[/mm] herum hat man doch
> eigentlich keine Probleme bezüglich der Offenheit. Einzig
> problematisch könnte die rechte Grenze 1 werden. Aber [mm]X[/mm]
> "hört doch hinter 1 quasi auf" (entschuldigt die etwas
> flappsige Formulierung), sodass ich doch hier auch kein
> Problem mit meinem [mm]\epsilon[/mm]-Ball haben dürfte, oder?
Genau, hier hast du kein Problem. Die Menge ist offen.
Um das formaler zu machen, definiere $M' := (0, [mm] \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, [/mm] 2)$; dann ist $M' [mm] \cap [/mm] X = M$, und $M'$ ist offen in [mm] $\IR$. [/mm] Wenn du jetzt eine Folge in $M$ hast, die gegen ein Element in $X$ konvergiert, so konvergiert die Folge ebenfalls in [mm] $\IR$ [/mm] gegen den gleichen Grenzwert. Da $M'$ offen in [mm] $\IR$ [/mm] ist und die Folge komplett in $M'$ liegt, muss sie also gegen einen Punkt aus $M'$ konvergieren. Folglich liegt der Grenzwert in $M' [mm] \cap [/mm] X = M$.
(Das passende Stichwort heisst uebrigens ![[]](/images/popup.gif) Relativtopologie, dies hier ist ein Spezialfall davon.)
LG Felix
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