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| Aufgabe | Ein normierter Raum [mm] (E,||\cdot||) [/mm] hat die Teilmengen A,B.
A+B:= { [mm] a+b|a\in A,b\in [/mm] B }. Beweise: A,B offen [mm] \Rightarrow [/mm] A+B offen. |
Hallo,
dieses Thema ist noch Neuland für mich. Weiß also nicht wirklich wie ich vorgehen soll. Dass A offen ist bedeutet doch: [mm] \forall a\in A \exists \epsilon >0: B(a,\varepsilon) \subset B[/mm]. Entsprechendes für B. Das heißt anschaulich A ist Umgebung jedes ihrer Punkte.
Dann müsste ich doch für A+B zeigen: [mm] B(a+b,\varepsilon)\subset A+B [/mm].
Wie gehe ich dabei genau vor und wie sollte ich das [mm] \varepsilon [/mm] definieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ein normierter Raum [mm](E,||\cdot||)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hat die Teilmengen A,B.
> A+B:= { [mm]a+b|a\in A,b\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B }. Beweise: A,B offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] A+B offen.
Es reicht uebrigens voellig aus, wenn eine der beiden Mengen offen ist, sagen wir mal $B$.
> dieses Thema ist noch Neuland für mich. Weiß also nicht
> wirklich wie ich vorgehen soll. Dass A offen ist bedeutet
> doch: [mm]\forall a\in A \exists \epsilon >0: B(a,\varepsilon) \subset B[/mm].
> Entsprechendes für B. Das heißt anschaulich A ist Umgebung
> jedes ihrer Punkte.
Genau.
> Dann müsste ich doch für A+B zeigen:
> [mm]B(a+b,\varepsilon)\subset A+B [/mm].
...fuer ein passendes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
> Wie gehe ich dabei genau vor und wie sollte ich das
> [mm]\varepsilon[/mm] definieren?
Am einfachsten geht es, wenn du dir $A + B$ anders aufschreibst, und zwar so:
$A + B = [mm] \bigcup_{a \in A} [/mm] (a + B)$, wobei $a + B := [mm] \{ a + b \mid b \in B \}$ [/mm] ist.
Wenn jetzt $a + b [mm] \in [/mm] A + B$ ist mit $a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B$, so gibt es (da $B$ offen ist) ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit $B(b, [mm] \varepsilon) \subseteq [/mm] B$.
Jetzt beachte, dass $x + B(b, [mm] \varepsilon) [/mm] = B(x + b, [mm] \varepsilon)$ [/mm] gilt fuer alle $x [mm] \in [/mm] E$, und dass fuer beliebiges $x [mm] \in [/mm] X$ und Teilmengen $X, Y [mm] \substeeq [/mm] E$ mit $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ gilt $x + X [mm] \subseteq [/mm] x + Y$.
Wenn du das alles kombinierst, bist du schnell am Ziel.
LG Felix
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