offen&konvex,diffbar,konstant? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Brinchen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
An folgender Aufgabe habe ich zu knacken...:
Sei U [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] offen und konvex, und sei f:U [mm] \to \IR^{n} [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit f'(u)=0 für alle u aus U. Muss f dann konstant sein? Warum (nicht)?
Danke im Voraus!
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Wenn f auf dem ganzen Gebiet definiert und an jeder Stelle diff.-bar mit df(X) = 0 (nxn-Ableitungsmatrix am Punkt X) ist, dann muss f konstant sein.
Beweisidee durch Widerspruch:
Du nimmst zwei Punkte P1 und P2 des konvexen Gebietes, für die
f(P1) [mm] \not= [/mm] f(P2) gilt, und beschreibst die Verbindungs-Strecke zwischen beiden durch
X := P1 + x(P2-P1), mit reellem x,
dann reduzierts Du das Problem durch
g(x) := f(X)² (Skalarprodukt)
auf auf eine reelle Funktion g: [0;1] -> |R ohne die Differenzierbarkeit zu verlieren.
Es muss immer noch gelten g'(x) = (df(X)(P2-P1))² = 0 und g ist dann auf einem kompakten Intervall stetig diff.-bar mit g'(x) = 0.
Dann kann aber nicht g(0) [mm] \not= [/mm] g(1) sein.
Du kannst diese Überlegung natürlich statt auf das Skalarprodukt auf die einzelnen Komponentenfunktionen von f mit yi = fi(X) für 0 < i < n+1 anwenden.
Ich hoffe, da ist kein Denkfehler drin (ist schon ein bisschen her bei mir).
Grüße, TOE
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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> Sei U [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] offen und konvex, und sei f:U [mm]\to \IR^{n}[/mm]
> eine differenzierbare Abbildung mit f'(u)=0 für alle u aus
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