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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Di 28.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei d eine Metrik auf X mit folgender Eigenschaft:
[mm] $d(x,z)\leq \max\left\{d(x,y), d(y,z)\right\}$ [/mm] für alle [mm] $x,y,z\in [/mm] X$.
Zeigen Sie, daß
[mm] $B(x,r):=\left\{y\in X~|~d(x,y) |
Moin, moin!
Zuerst versuche ich mal zu zeigen, daß die Menge abgeschlossen ist: Das ist dann der Fall, wenn [mm] $X\setminus [/mm] B(x,r)$ offen ist.
Ich habe mir nun Folgendes überlegt:
Sei [mm] $y\in X\setminus [/mm] B(x,r)$ beliebig. Zeige, daß es ein $r'>0$ gibt, sodaß [mm] $B(y,r')\subseteq X\setminus [/mm] B(x,r)$.
Es ist doch für alle [mm] $z\in [/mm] B(y,r')$:
[mm] $d(y,z)\leq\max\left\{d(y,x), d(x,z)\right\}$. [/mm] Wenn man
[mm] $r':=\max\left\{d(y,x), d(x,z)\right\}-r$ [/mm] wählt, hat man dann nicht ein $r'$ ausfindig gemacht?
(Mit der Offenheit von $B(x,r)$ warte ich erstmal noch, bis ich eine Reaktion bekommen habe.)
Danke für jede Mühe von Euch!
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Di 28.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe mir nun Folgendes überlegt:
> Sei [mm]y\in X\setminus B(x,r)[/mm] beliebig. Zeige, daß es ein
> [mm]r'>0[/mm] gibt, sodaß [mm]B(y,r')\subseteq X\setminus B(x,r)[/mm].
>
> Es ist doch für alle [mm]z\in B(y,r')[/mm]:
>
> [mm]d(y,z)\leq\max\left\{d(y,x), d(x,z)\right\}[/mm]. Wenn man
> [mm]r':=\max\left\{d(y,x), d(x,z)\right\}-r[/mm] wählt, hat man
> dann nicht ein [mm]r'[/mm] ausfindig gemacht?
Wo ist das Argument?
> (Mit der Offenheit von [mm]B(x,r)[/mm] warte ich erstmal noch, bis
> ich eine Reaktion bekommen habe.)
Ist das nicht trivial?!? Die Definition?!?
SEcki
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