obere Schranke, Max M sup M... < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Bestimmen Sie sup M oder inf M. Wann liegt sogar ein Maximum oder Minimum vor?
M:=[ [mm] $x\in \IR [/mm] : [mm] x^2-3x+8\ge [/mm] 6$ ]. |
Hallo.
Also irgendwie komme ich damit noch nicht so ganz klar.
Also ich weiß, dass eine M nach unten beschränkt heißt, wenn gilt $a [mm] \le [/mm] x$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$ Das wäre dann erst einmal eine untere Schranke. (Umgekehrtes gilt für obere Schranke)
Jetzt wäre für mich erst einmal die Frage, wie komme ich in dem oben genannten Beispiel an das a heran? Ich würde dafür einfach die Funktion $f(x) = [mm] x^2-3x+8-6$ableiten [/mm] und den Extremwert berechnen. Nur Ableitungen hatten wir ja noch nicht, also kann es so nicht gehen. Trotzdem - wenn ich das mache, erhalte ich $x=1.5$
Ne, moment. Das ist ja Unsinn. Das a ist doch einfach die 6. Folglich haben wir hier eine untere Schranke, da $6 [mm] \le [/mm] x$
Dann hätten wir das mit der unteren Schranke ja schon einmal geklärt. Nach oben beschränkt ist das ja nicht... Denn [mm] x^2-3x+8 [/mm] geht für plus und minus unendlich ins plus unendliche. Also keine obere Schranke (wie kann man das noch zeigen?
Jetzt kann es also nur nur noch ein Inf M geben.
Die Definition ist ja, eine reele Zahl s heißt inf M, wenn
*s untere Schranke von M ist
und
*keine Zahl > s noch untere untere Schranke von M sein kann.
Das s ist ja in diesem Fall mein a.
Wie kann ich das denn jetzt zeigen? also ich kann schon einmal sagen, wir haben inf 6. Oder heißt es doch nur inf M?
Ein Maximum gibt es hier ja nicht, wir ja nur den Bereich für die Ungleichung größer als sechs Betrachten. Wie zeige ich, dass es weder Minimum noch Maximum gibt? (dazu weiß ich leider gar nichts)-
Wäre nett, wenn mir jemand helfen würde.
Grüße
Phoney
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0 [mm] \le x^2-3x+8-6 [/mm] = [mm] x^2-3x+2 [/mm] = (x-1)(x-2)
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] (x-1) und 0 [mm] \le [/mm] (x-2) oder 0 [mm] \ge [/mm] (x-1) und 0 [mm] \ge [/mm] (x-2)
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] x und 2 [mm] \le [/mm] x oder 1 [mm] \ge [/mm] x und 2 [mm] \ge [/mm] x
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \le [/mm] x oder 1 [mm] \ge [/mm] x
Also M = [mm] {x\in\IR| 2 \le x oder 1 \ge x}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> 0 [mm]\le x^2-3x+8-6[/mm] = [mm]x^2-3x+2[/mm] = (x-1)(x-2)
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] (x-1) und 0 [mm]\le[/mm] (x-2) oder 0 [mm]\ge[/mm] (x-1) und 0 [mm]\ge[/mm]
> (x-2)
>
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le[/mm] x und 2 [mm]\le[/mm] x oder 1 [mm]\ge[/mm] x und 2 [mm]\ge[/mm] x
>
> [mm]\gdw[/mm] 2 [mm]\le[/mm] x oder 1 [mm]\ge[/mm] x
>
> Also M = [mm]{x\in\IR| 2 \le x oder 1 \ge x}[/mm]
Ich freue mich ja immer, wenn man mir etwas vorrechnet, aber was genau sagt mir das jetzt? Ist die untere Schranke nun 2 oder die obere 1?
Achso, das ist die Rechnung für das Maximum und das Minimum. Das müsste aber in [mm] \in [/mm] M liegen. Tut es das?
Als die 2 ist das Minimum, die 1 das Maximum oder wie?
Verstehe leider noch nicht genau, was mir deine Rechnung sagt - bzw das Ergebnis.
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> > 0 [mm]\le x^2-3x+8-6[/mm] = [mm]x^2-3x+2[/mm] = (x-1)(x-2)
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] (x-1) und 0 [mm]\le[/mm] (x-2) oder 0 [mm]\ge[/mm] (x-1) und 0 [mm]\ge[/mm]
> > (x-2)
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le[/mm] x und 2 [mm]\le[/mm] x oder 1 [mm]\ge[/mm] x und 2 [mm]\ge[/mm] x
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 2 [mm]\le[/mm] x oder 1 [mm]\ge[/mm] x
> >
> > Also M = [mm]{x\in\IR| 2 \le x oder 1 \ge x}[/mm]
> Verstehe leider noch nicht genau, was mir deine Rechnung
> sagt - bzw das Ergebnis.
Hallo,
otto.euler verschafft sich durch diese Rechnung Auskunft darüber, welche Elemente in M liegen.
In M liegen die x mit 6 [mm] \le x^2-3x+8.
[/mm]
otto.euler stellt fest: es sind genau die x mit 2 [mm] \le [/mm] x oder 1 [mm] \ge [/mm] x.
Wie sieht diese Menge aus? Ist sie beschränkt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> otto.euler verschafft sich durch diese Rechnung Auskunft
> darüber, welche Elemente in M liegen.
Achso. Gut, danke für die Auskunft!
> Wie sieht diese Menge aus? Ist sie beschränkt?
2 $ [mm] \le [/mm] $ x oder 1 $ [mm] \ge [/mm] $ x.
1 ist die obere Schranke und 2 die untere, oder nicht?
Kann ich durch diese Lösung der Ungleichung einfach darauf schließen, dass es sich nun um sup(1) und inf(2) handelt?
Gruss
Johann
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> > Wie sieht diese Menge aus? Ist sie beschränkt?
>
> 2 [mm]\le[/mm] x oder 1 [mm]\ge[/mm] x.
>
> 1 ist die obere Schranke und 2 die untere, oder nicht?
Ich bitte Dich!!!!!
Wie um Himmelswillen kann denn 1 obere Schranke sein und 2 untere???
Jetzt atme mal tief durch, knips den Verstand ein - und zeichne Dir die besagte Menge auf dem Zahlenstrahl auf.
Dann düfte sich Deine Frage von selbst klären.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Phoney |
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> > > Wie sieht diese Menge aus? Ist sie beschränkt?
> >
> > 2 [mm]\le[/mm] x oder 1 [mm]\ge[/mm] x.
> >
> > 1 ist die obere Schranke und 2 die untere, oder nicht?
>
> Ich bitte Dich!!!!!
> Jetzt atme mal tief durch, knips den Verstand ein - und
> zeichne Dir die besagte Menge auf dem Zahlenstrahl auf.
> Dann düfte sich Deine Frage von selbst klären.
Ne, tut es leider nicht, das Intervall wäre dann ja
[mm] [-\infty,1] [/mm] und [mm] [2,+\infty]
[/mm]
> Wie um Himmelswillen kann denn 1 obere Schranke sein und 2
> untere???
Das ist doch wie bei der Grenzwertbetrachtung [mm] [-\infty,1]. [/mm] Wenn ich nur dieses Intervall betrachte, wäre 1 die obere Schranke. Und wenn ich [mm] [2,+\infty] [/mm] betrachte, wäre 2 die untere Schranke. Alles was dazwischen ist, gibt es nicht. Oder soll das dazwischen die Menge M sein?
Und deswegen denke ich, dass 1 die obere Schranke ist (ähnlich wie die linksseitige Annäherung) und die 2 die untere Schranke.
Also deinem schockierten Kommentar nach ist 1 die untere Schranke und 2 die obere, weil ]1,2[ das die Menge M ist??
Lieben Gruss
Johann
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> >
> > zeichne Dir die besagte Menge auf dem Zahlenstrahl auf.
> > Dann düfte sich Deine Frage von selbst klären.
>
> Ne, tut es leider nicht, das Intervall wäre dann ja
>
> [mm][-\infty,1][/mm] und [mm][2,+\infty][/mm]
>
Na also, wir nähern uns...
Es ist [mm] M=[-\infty,1] \cup [2,+\infty], [/mm] denn genau in diesen Intervallen liegen die x, die die Ungleichung erfüllen.
M besteht also aus ganz [mm] \IR [/mm] ohne ]1,2[.
Für die Schrankenbetrachtungen mußt Du die Menge M in ihrer Gesamtheit anschauen. Und? Hat sie eine obere Schranke?
Jetzt ist alles klar, oder?
Nun könntest Du allerdings zu Übungszwecken die Menge
[mm] M':=\{x\in \IR : x^2-3x+8\le 6 \} [/mm] untersuchen. (Ich frage mich sowieso, ob die Aufgabe nicht ursprünglich so hieß.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Schönen guten Abend!
> Es ist [mm]M=[-\infty,1] \cup [2,+\infty],[/mm] denn genau in diesen
> Intervallen liegen die x, die die Ungleichung erfüllen.
>
> M besteht also aus ganz [mm]\IR[/mm] ohne ]1,2[.
> Für die Schrankenbetrachtungen mußt Du die Menge M in
> ihrer Gesamtheit anschauen. Und? Hat sie eine obere
> Schranke?
> Jetzt ist alles klar, oder?
Sie hat weder eine obere noch eine untere Schranke - und ein Maximum bzw. Minimum gibt es auch nicht?
>
> Nun könntest Du allerdings zu Übungszwecken die Menge
> [mm]M':=\{x\in \IR : x^2-3x+8\le 6 \}[/mm] untersuchen. (Ich frage
> mich sowieso, ob die Aufgabe nicht ursprünglich so hieß.)
Nein, so hieß sie nicht. Aber ich werde mich mal daran versuchen...
Viele Grüße
Johann
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> Sie hat weder eine obere noch eine untere Schranke - und
> ein Maximum bzw. Minimum gibt es auch nicht?
>
Ganz genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Huhu.
> Ganz genau.
Super! Dank deiner Geduld habe ich es ja dann doch noch herausbekommen.
Danke dir!
Gruss
Johann
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