obere Grenze für Matrixnorm < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Do 15.05.2008 | | Autor: | sole |
| Aufgabe | | Gegeben seien Matrizen [mm] A,B,E\in\IR^{n,n}, [/mm] A invertierbar und AB=I+E. Finde eine obere Grenze für [mm] \|A^{-1}-B\| [/mm] in Termen von [mm] \|E\|, \|B\|. [/mm] |
Hallo,
ich habe schon einige Seiten durchgerechnet, bewege mich aber irgendwie immer im Kreis...
Falls mir also jemand einen Tipp geben könnte wäre das super.
Vielen Dank, ~sole
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben seien Matrizen [mm]A,B,E\in\IR^{n,n},[/mm] A invertierbar
> und AB=I+E. Finde eine obere Grenze für [mm]\|A^{-1}-B\|[/mm] in
> Termen von [mm]\|E\|, \|B\|.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe schon einige Seiten durchgerechnet, bewege mich
> aber irgendwie immer im Kreis...
>
> Falls mir also jemand einen Tipp geben könnte wäre das
> super.
Ist das eine völlig beliebige Matrixnorm, oder eine durch eine Vektornorm induzierte? Konkret: darfst du Submultiplikativität voraussetzen:
[mm] \|A*B\| \le \|A\|\|B\| [/mm],
oder sogar Eigenschaften wie [mm] $\|A\|*\|A^{-1}\|=1$ [/mm] oder [mm] $\|I\| [/mm] = 1 $ ?
Tipp: Die Dreiecksungleichung gilt immer.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:00 So 18.05.2008 | | Autor: | sole |
Hallo rainerS, danke für deine Antwort. Es handelt sich um eine beliebige Matrixnorm. Ich denke dass wir [mm] \|AB\| \leq \|A\|\|B\| [/mm] und [mm] \|A\|\|A^{-1}\|=1 [/mm] voraussetzen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainerS, danke für deine Antwort. Es handelt sich um
> eine beliebige Matrixnorm. Ich denke dass wir [mm]\|AB\| \leq \|A\|\|B\|[/mm]
> und [mm]\|A\|\|A^{-1}\|=1[/mm] voraussetzen können.
Nicht jede Matrixnorm hat diese Eigenschaften. Aber OK.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben seien Matrizen [mm]A,B,E\in\IR^{n,n},[/mm] A invertierbar
> und AB=I+E. Finde eine obere Grenze für [mm]\|A^{-1}-B\|[/mm] in
> Termen von [mm]\|E\|, \|B\|.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe schon einige Seiten durchgerechnet, bewege mich
> aber irgendwie immer im Kreis...
>
> Falls mir also jemand einen Tipp geben könnte wäre das
> super.
Erst einmal ist
[mm] A^{-1}-B = A^{-1} (I-AB)= -A^{-1}E [/mm]
und
[mm] A = (AB)B^{-1} = B^{-1} + E B^{-1} [/mm]
Wenn wir [mm] \|A*B\| \le \|A\|\|B\| [/mm] und [mm] $\|A\|*\|A^{-1}\|=1$ [/mm] und damit auch [mm] $\|I\| [/mm] = 1 $ voraussetzen, dann ist
[mm] \| A^{-1}-B \| \le \|A^{-1}\| \|E\| = \bruch{\|E\|}{\|A\|}[/mm] .
Die Norm von A kannnt du mit der Dreiecksungleichung abschätzen.
Viele Grüße
Rainer
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