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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 03.12.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge der oberen Block-Dreiecksmatrizen mit invertierbaren (2 [mm] \times [/mm] 2)-Diagonalbloecken mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet. |
Hey Leute,
sitze gerade an obriger Aufgabe.
Muss ja die Definiton einer Gruppe zeigen, also zeigen, dass die Menge assoziativ ist, neutrales Element und Inverses. Sowie die Abgeschlossenheit.
Angefangen, hatte ich, indem ich mir 3 Blockmatrizen (2 [mm] \times [/mm] 2 mit obigen Eigenschaften gewaehlt habe.
Quasi Beispielbetrachtung.
Also:
[mm] A=\pmat{ D_{1} & E \\ 0 & D_{2} }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ D_{3} & F \\ 0 & D_{4} }
[/mm]
[mm] C=\pmat{ D_{5} & E \\ 0 & D_{6} }
[/mm]
Zuerst habe ich mir die Abgeschlossenheit angesehen... Ergebnis A*B ist eine obere Block-Dreiecksmatrix mit invertierbaren (2 [mm] \times [/mm] 2)-Diagonalbloecken
Zur Assoziativitaet:
(AB)C=A(BC)
[mm] (AB)C=\pmat{ D_{1}D_{3}D_{5} & D_{1}D_{3}G +(D_{1}F+ED_{4})D_{6} \\ 0 & D_{2}D_{4}D_{6} }
[/mm]
[mm] A(BC)=\pmat{ D_{1}D_{3}D_{5} & D_{1}(D_{3}G +FD_{6})+ED_{4}D_{6} \\ 0 & D_{2}D_{4}D_{6} }
[/mm]
Da [mm] D_{1}D_{3}G +(D_{1}F+ED_{4})D_{6} [/mm] nach Aufloesen gleich [mm] D_{1}(D_{3}G +FD_{6})+ED_{4}D_{6} [/mm] ist. Stimmt auch die Assosiativitaet.
Neutrales Element ist klar (Einheitsmatrix)
Aber mit dem Inversen komme ich nicht weiter.
In unserem Lehrbuch, steht zwar die Inverse fuer solche Matrizen (2 [mm] \times [/mm] 2),
[mm] A^{-1}=\pmat{ A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ 0 & A_{22}^{-1} }
[/mm]
aber sobald die Matrix "groesser" ist, komme ich nicht klar.
Hat jemand hierzu ne Idee??
Silfide
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> Zuerst habe ich mir die Abgeschlossenheit angesehen...
> Ergebnis A*B ist eine obere Block-Dreiecksmatrix mit
> invertierbaren (2 [mm]\times[/mm] 2)-Diagonalbloecken
Also dass das Produkt von 2 invertierbaren 2x2 Matrizen wieder invertierbar ist müsstest du an dieser stelle erst nochmal nachweisen wenn ihr das noch nicht in der Vorlesung oder Übung bewiesen habt. Ansonsten sind deine Überlegungen vollkommen richtig,wenn ich nicht irgendwas übersehen hab.
> [mm]A^{-1}=\pmat{ A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ 0 & A_{22}^{-1} }[/mm]
>
> aber sobald die Matrix "groesser" ist, komme ich nicht
> klar.
Was meinst du mit "Grösser"? Die Matrizen sind nicht grösser geworden,es sind immernoch 4x4 bzw. mehrere 2x2 Matrizen. Du müsstest erstmal auch argumentieren, ob dieses [mm]A^{-1} [/mm] ein Element der Menge ist, also ob die Einträge auch invertierbar sind(gleiches Argument wie oben). Dann einfach mal [mm] A \cdot A^{-1} [/mm] ausrechnen und gucken ob die Einheitsmatrix rauskommt.
Ich hoffe das hilft.
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