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| Aufgabe | die nullstellen von der funktion
x² * sin(x) |
hallo erstmal...
ich weiss zwar, dass hier 0 eine doppelte nullstelle ist und dann der sinus immer im abstand von [mm] \pi [/mm] eine nullstelle hat.
meine frage und bitte ist, dass mit bitte jemand zeigt, wie ich das mathematisch schreibe.
danke
und noch ne kleine frage:
die funktion x* ln(x²/4)
hier hat man ja an der stelle 0 eine unstetigkeitsstelle.
wie begründe ich das?
und wie schreibe ich hier mathematisch die definitions- und wertemenge.???
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ehhm...
da sie ja an der stelle 0 unstetig ist, habe ich die funktion mit x für x=0 ergänzt.
somit ist sie ja stetig!?
ist sie aber auch differenzierbar, also hat es dort eine tangente, weil ja nicht jede stetige funktion auch gleich differenzierbar ist, bin ich mir nicht sicher
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Do 07.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> die nullstellen von der funktion
> x² * sin(x)
> hallo erstmal...
>
> ich weiss zwar, dass hier 0 eine doppelte nullstelle ist
> und dann der sinus immer im abstand von [mm]\pi[/mm] eine nullstelle
> hat.
>
> meine frage und bitte ist, dass mit bitte jemand zeigt, wie
> ich das mathematisch schreibe.
Ich würde es so schreiben:
[mm] x_{0_{1;2}} [/mm] = 0
und
[mm] x_{0_{3,...}} [/mm] = [mm] k\pi, k\in\IZ
[/mm]
Oder kürzer:
[mm] x_{0} [/mm] = k [mm] \pi [/mm] , [mm] k\in\IZ
[/mm]
>
> danke
>
>
> und noch ne kleine frage:
>
> die funktion x* ln(x²/4)
>
> hier hat man ja an der stelle 0 eine unstetigkeitsstelle.
> wie begründe ich das?
Ich würde es mir dem Definitionsbereich des ln begründen. Der ln ist nämlich nur für positive Zahlen definiert. (D = [mm] \IR^{+})
[/mm]
> und wie schreibe ich hier mathematisch die definitions-
> und wertemenge.???
D = [mm] \IR/{0}, [/mm] weil er ja für 0 nicht def. ist.
Da der ln alle werte annehmen kann, gilt: W = [mm] \IR
[/mm]
>
> danke
>
Hilft das weiter?
Marius
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Da sind ein paar sachliche Unrichtigkeiten drin. Die Funktion
[mm]f(x) = x^2 \cdot \sin{x}[/mm]
hat nämlich bei [mm]x=0[/mm] eine Nullstelle der Ordnung 3. Denn es gilt [mm]f(0) = f'(0) = f''(0) = 0[/mm] und [mm]f'''(0) \neq 0[/mm]. Wenn du Potenzreihen kennst, ist das natürlich noch einfacher zu sehen.
Bei der Funktion
[mm]g(x) = x \cdot \ln{\frac{x^2}{4}}[/mm]
schließlich befindet sich bei [mm]x=0[/mm] keine Unstetigkeitsstelle, sondern eine Definitionslücke! Das sind zwei ganz verschiedene paar Stiefel - bitte nicht durcheinander bringen! Mit der Vereinbarung [mm]g(0):=0[/mm] läßt sich [mm]g(x)[/mm] allerdings stetig ergänzen (Tip: substituiere [mm]x = \pm 2 \operatorname{e}^{- \frac{t}{2}}[/mm] und laß [mm]t \to \infty[/mm] gehen; verwende bekannte Eigenschaften der e-Funktion). Die so erweiterte Funktion ist bei [mm]x=0[/mm] allerdings nicht differenzierbar:
[mm]\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \frac{x \cdot \ln{\frac{x^2}{4}}}{x} = \ln{\frac{x^2}{4}} \to - \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
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